Магадлалын онол статистикийн лекц, семинарын бодлого

Түргэн тусламжийн тасагт очих хүртлэх хугацаа нь хүлээх хугацаа ба үйлчилгээний хугацааны нийлбэрээс тогтоно. $X$ нь хүлээхэд зарцуулах хугацааны хувь бөгөөд $\alpha= 10$, $\beta= 1$ параметрүүдтэй Вета тархалттай бол (a) $P(X>0,9)=?$ (b) $P(X<0,5)=?$ (c) дундаж, дисперсийг ол.

Хэрэв $X$ $\alpha = 2.5$, $\beta= 1$ параметрүүдтэй Вета тархалттай бол (a) $P(X<0.25)=?$ (b) $P(0.25<X<0.75)=?$ (c) дундаж, дисперсийг ол.

4 минутын дундаж, 2 $минут^2$-ын дисперстэй Гамма тархалтын $\lambda$, $r$ параметрүүдийг ол.

Хэрэв $X$ $\lambda= 2.5$, $r= 3.2$ параметрүүдтэй Гамма тархалттай бол $X-ийн дундаж, дисперсийг ол.

Хэрэв $X$ $\lambda = 3$, $r= 6$ параметрүүдтэй Гамма тархалттай бол $X-ийн дундаж, дисперсийг ол.

Компыотерийн CPU-ийн (computer processing unit) ажиллах хугацаа $\beta=3$, $\delta=900$ цаг параметрүүдтэй Вейбуллийн тархалтаар загварчлагдана. (a) CPU-ийн ажиллах дундаж хугацааг ол. (b) CPU-ийн ажиллах хугацааны дисперсийг ол. (Ь) CPU 500 цагаас өмнө эвдрэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Хэрэв $X$ $\beta= 0.2$, $\delta= 100$ цаг параметрүүдтэй Вейбуллийн тархалттай бол (a) Вейбуллийн тархалтын дундаж ба дисперсийг ол. (b) $P(X<10000)=?$ (с) $P(X>5000)$

Лазер хагас. дамжуулагчийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа логнормаль тархалттай. Ажиллах хугацааны дундаж ба стандарт хазайлт нь харгалзан 10000 цаг, 2000 цаг бол (a) Логнормаль тархалтын параметрүүдийг ол. (b) Ажиллах хугацаа 10000 цагаас давах магадлалыг ол (c) $P(8000\leq X\leq 18000)=?$

$X$ нь харгалзан 100; 85000 дундаж, дисперстэй логнормаль тархалттай бол $a$, $\sigma^2$ параметрүүдийг ол.

Хэрэв $X$ нь $a= 5$, $\sigma^2= 9$ параметрүүд бүхий логнормаль тархалттай бол (a) $P(X<13,300)=?$ (b) $P(X\leq x)= 0.95$ байх $x=?$ (c) $X$-ийн дундаж, дисперсийг тус тус ол.

Хийжүүлсэн ундааны лааз дүүргэгч автомат машины дүүргэх хэмжээ нь 12.4унц дундаж, 0.1унц стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай. (a) Дүүргэлтийн хэмжээ нь 12унцаас бага байх магадлал хэд вэ? (b) Хэрэв 12.1 унцаас бага, 12.6 унцаас их дүүргэлттэй лаазыг устгалд оруулдаг бол нийт лаазны хэдэн хувь нь устгалд орох вэ? (c) Дүүргэлтийн практик заагийн 99%-ийг агуулах бөгөөд дунд- жийнхаа хувьд тэгш хэмтэй интервалыг ол.

Завод холхивчны шарик үйлдвэрлэнэ. Шарикны бодит диаметр 5мм. Үйлдвэрлэлийн алдаанаас болж диаметр нь $\sigma=0.05$мм стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Үйлдвэрлэсэн шарикны диаметр бодит хэмжээнээсээ хазайхгүй. Хэрэв бодит хэмжээнээсээ 0.1мм-ээс ихээр хазайвал гологдолд тооцно. Холхивчны шарик үйлдвэрлэлийн гологдлын дундаж хувийг ол.

Коллежийн оюутны шалгалтын үргэлжлэх хугацаа 80 минут дундажтай, 10 минутын стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай гэж үзнэ. (а) Шалгалт 1 цаг болон түүнээс бага хугацаанд дуусах, (b) 60- 75 минутын хооронд дуусах магадлалыг тус тус ол. (с) Анги 60 оюутантай бөгөөд шалгалт 90 минутанд дууссан гэвэл дунджаар хэдэн оюутан хугацаандаа амжихгүй вэ?

Суурь машин дээр бодит хэмжээ нь 500мм байх төмөр гол зорно. Үйлдвэрлэсэн голны хэмжээ $\sigma = 6$мм стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай. Харин жинхэнэ хэмжээнээсээ 15г-аас ихээр хазайвал гологдолд тооцно. Зорсон голны гологдлын дундаж хувийг ол.

Үйлдвэрлэн гаргаж буй метал хавтангийн зузаан бодит хэмжээ нь 2мм байх хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Хавтангийн зузаан бодит хэмжээнээсээ 5%-иас ихгүйгээр хазайх магадлал 0.99-өөс багагүй байхын тулд стандарт хазайлт нь ямар байх вэ?

Жолоочийн самбаачлах хугацаа 0.4секунд дундажтай, 0,005секунд стандарт хазайлттай хэвийн тархалттай. (a) Самбаачлахад 0,5 секундээс илүү хугацаа зарах магадлалыг ол. (b) Самбаачлах хугацаа 0.4-0.5 байх магадлалыг ол. (c) Самбаачлах практик хугацааны 90%-иас давах хугацааг ол.

Автомат суурь машин бодит хэмжээ нь Зсм байх ижил төрлийн детал үйлдвэрлэнэ. Үйлдвэрлэлийн алдаанаас үүдэн деталын хэмжээ $\sigma= 0.05$см стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Харин бодит хэмжээнээсээ хазайхгүй. Бодит хэмжээнээсээ 0.12см-ээс ихээр хазайсан деталыг гологдолд тооцдог бол нийт бүтээгдэхүүний дунджаар хэдэн хувь нь гологдол байх вэ?

Хэмжигч багаж $MX= 1$мм-ийн байнгын алдаа гаргана. $X-ийн дундаж квадрат хазайлт $\sigma X= 2$мм. (а) $P(|X|)<\sigma$ магадлалыг ол; (b) Хэрэв байнгын алдааг арилгавал энэ магадлал хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?.

Агаарын бохирдлыг хянах төхөөрөмж агаар дахь $СО_2$-ыт илрүүлэх мэдрэгчтэй. Тодорхой байршлын хувьд $СО_2$-ын хэмжээ нь $6.23ppm$ дундажтай, $4.26ppm$ дисперстэй хэвийн тархалттай байдаг. (a) $СО_2$-ын түвшин 9ррт-ээс давах магадлалыг ол. (b) $СО_2$-ын түвшин $5.5-8.5ppm$ байх магадлалыг ол. (c) $СО_2$-ын түвшин тодорхой хязгаарыг давсан тохиолдолд сэрүүлэг идэвхжинэ. Тэгвэл 3.75 стандарт хазайлттай, дээрх дундаж бүхий тийм хязгаарыг тодорхойл.

Хэмжигч багажны алдаа-$X$ хэвийн тархалттай. Багаж байнгын алдаа үл гаргана. $X-ийн дундаж квадрат хазайлт 12 микрометр. Хэмжилтийн алдаа абсолютаараа 20 микрометрээс үл хэтрэх магадлалыг ол.

Үл хамааран ажиллах 2 элементийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа тус бүр илтгэгч тархалттай: $F_1(t)=1-e^{-0.03t}$, $F_2(t)=1-e^{-0.05t}$. Хоёр элементийг тасралтгүй 10 цаг ажилуулахад (а) 2 элемент хоёул эвдрэх, (b) зөвхөн нэг нь эвдрэх, (с) дор хаяж нэг нь эвдрэх, (d) нэг нь ч үл эвдрэх магадлалыг тус тус ол.

Электрон байгууламж хоорондоо үл хамааран ажиллах 3 хэсгээс тогтоно. Хэсэг тус бүрийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа—$T$ илтгэгч тархалттай бөгөөд бүгд дунджаар 750 цаг ажиллана. Электрон байгууламж эвдрэлгүй ажиллахын тулд эдгээр 3 элементийн дор хаяж 1 нь ажиллаж байхад хангалттай бол байгууламж 450-600 цаг тасралтгүй ажиллах магадлалыг ол.

$X$, $Y$, $Z$—санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын нягтууд нь өгөгдөв. $f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac{(x+2)^2}{18}}$ $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0,2e^{-0,2y} & y\geq 0 \\ 0 & y<0 \end{array}\right.$ $f_3(z)=\left\{\begin{array}{lc} 1/4 & 1<z\leq 5 \\ 0 & z\leq 1,\,\, z>5 \end{array}\right.$ $M(2X-3Y+5Z)=?$ $M(X\cdot Y-4Z+2)=?$ $D(3X-Y-3Z-1)=?$

$X$, $Y$ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын хууль нь өгөгдөв. $M(X+Y)$, $M(XY)$, $D(X+Y)$-ийг тус тус ол. (a) $f_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0,5 & 0<x\leq 2 \\ 0 & x\leq 0,\,\, x>2 \end{array}\right.$ $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & y<0 \\ e^{-y} & y\geq 0 \end{array}\right.$ (b) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac{(x-4)^2}{18}}$ $\varphi(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & y\leq 0 \\ 2y/9 & 0<y\leq 3 \\ 0 & y>3 \end{array}\right.$ (c) $X$ нь $f(x)=(1/\sqrt{8\pi})e^{-\frac{(x-1)^2}{8}}$ нягт бүхий хэвийн тархалттай, $Y$ нь $[0;2]$ хэрчим дээр жигд тархалттай.

Микроэлемент эвдрэлгүй ажиллах хугацаа илтгэгч тархалттай бөгөөд тархалтын нягт нь $f(X)=\left\{\begin{array}{lc} (1/20)e^{-0,05x} & x\geq 0 \\ 0 & x<0.\end{array}\right.$ бол элемент тасралтгүй 100 цаг ажиллах магадлал болон $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол.

Нэхмэлийн машины хөдөлгүүр эвдрэлгүй ажиллах хугацаа - $T$ илтгэгч тархалттай. Техникийн үйлчилгээ хийснээс хойш эвдрэлгүй ажиллах дундаж хугацаа 1000 цаг бол хөдөлгүүр эвдрэлгүйгээр 800 цаг ажиллах магадлалыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц өгөгдөв. $F(X)=\left\{\begin{array}{lc} 1-e^{-0,2x} & x\geq 0 \\ 0 & x<0.\end{array}\right.$ (a) $P(4\leq X\leq 10)$ магадлалыг ол. (b) математик дундаж, дисперс, стандарт хазайлтыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $[2; 6]$ хэрчим дээр жигд тархалттай бол (a) $M(2x+1)=?$  (b) $D(2x+1)=?$  (c) $M(X^2+3)=?$

Хэмжигч багажны хуваарийн үнэ (зурааснуудын хоорондын хэмжээ) 0.2. Багажны заалтыг хуваалтын хамгийн ойрын зураасаар нарийвчилна. (a) хэмжилтээр 0.04-өөс бага алдаа гарах магадлал, (b) хэмжилтээр 0.05-аас их алдаа гарах магадлал, (c) хэмжилтийн алдааны математик дундаж ба стандарт алдааг тус тус ол.

Хэрэв $X нь $[0; 1]$ завсарт жигд тархалттай бол $a+(b-a)X$ хэм- жигдэхүүн $[a;b]$ завсарт жигд тархалттай болохыг үзүүл.

Ямар завсар дээр жигд тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд $MX= 2$, $DX= 3$ байх вэ?

Хугацааны санамсаргүй агшинд багажинд эвдрэл гарна. Эвдрэлүүдийг энгийн урсгал (Пуассоны процесс) гэж үзнэ. Хоногт гарах эвдрэлийн тоо дунджаар 2. (а) 2 хоногт нэгч эвдрэл гарахгүй байх, (b) 1 хоногт дор хаяж 1 эвдрэл гарах, (с) 7 хоногт 3-аас олонгүй эвдрэл гарах үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. (Заавар: (3.10) томъёог ашигла)

Ахуйн үйлчилгээний компапийн хүлээн авахад 1 цагт ирэх захиалгын дундаж тоо 3. Тэгвэл 3 цагт (а) 6 захиалга, (b) 6-аас цөөн захиалга, (с) 6-аас цөөнгүй захиалга ирэх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. (Заавар: (3.10) томъёог ашигла)

Электрон багаж бие биеээсээ үл хамааран ажиллах 1000 элементээс тогтоно. $t$ хугацааны туршид аль ч элемент нь эвдрэх магадлал 0,002. тэгвэл $t$ хугацаанд (а) 3 элемент эвдрэх, (b) 3-аас цөөп элемент эвдрэх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол. (с) I хугацаанд “эвдэрсэн элементийн тоо” -г $X$ гэвэл $MX$, $DX$, $\sigma X$- ийг ол.

Сургуулийн насны хүүхдүүд 1 жилд санамсаргүйгээр бэртэл авах дундаж тоо 2. Санамсаргүй сонгон авсан сурагч (а) Жилд 2 удаа; (b) 2 ба түүнээс олон удаа; (с) 1-ээс олонгүй бэртэл авах магадлалыг тус тус ол. (d) $X$  нь “жилд авах бэртлийн тоо” бол $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол.

Электрон байгууламжийн жижиг хэсэг нь комьютерийн 6 чип агуулах ба 2 нь гэмтэлтэй аж. Эдгээрээс таамгаар 3 чип сонгон авхад түүнд орсон "гэмтэлтэй чипний тоо” -ны тархалтын хууль ба $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол.

Чихрийн тавганд хөх цаастай 5. улаан цаастай 3 чихэр байв. Хүүхэд таамгаар 3 чихэр авав. (а) 2 нь хөх. 1 нь улаан цаастай байх; (b) бүгд хөх цаастай байх; (с) бүгд ижил өнгийн цаастай байх магадлалыг тус тус ол. (d) $X$ нь “улаан цаастай чихрийн тоо” бол $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол.

Хөдөлгүүрийг асаах оролдлогыг хэд хэдэн удаа хийнэ. Оролдлого бүр нь бусдаас үл хамааран $p$ магадлалтайгаар хөдөлгүүрийг асаана. Оролдлого бүр $t$ хугацаанд явагдана. Хөдөлгүүрийг асаахад зарцуулах ерөнхий хугацаа $T$-ийн тархалтын хууль ба математик дундаж, дисперсийг $p= 0.6$, $t= 2$ минут үед ол.

Шоог 5 нүдээр буутал нь хаяна. (а) “Шоог хаях тоо” -ны тархалтын хууль; (b) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж, дисперс, стандарт хазайлт; (с) 3-аас олон удаа хаях магадлалыг тус тус ол.

АНУ-ын Амьтадыг Хамгаалах Нийгэмлэгийн мэдээлснээр тус улсын иргэдийн эзэмшилд 65 сая орчим нохой байдаг бөгөөд нийт өрхийн дунджаар 40% нь дор хаяж 1 нохойтой байдаг аж. Тэгвэл таамгаар сонгон авсан 10 өрхийн хувьд (а) 8 нь; (b) 3-аас цөөн нь; (с) 8-аас олон нь дор хаяж 1 нохойтой байх магадлалыг тус тус ол. (d) $X$ нь “дор хаяж 1 нохойтой өрхийн тоо” бол $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийт ол.

6.2. Тодорхой загварын автомашины өнгөнд ач холбогдол өгөх нь жи- лээс жилд өөрчлөгдөж буй аж. Сүүлийн жилд худалдсан хээнцэр машины 10% нь хар өнгөтэй. Энэ жилд таамгаар 10 машин сонгон авахад: (а) Дор хаяж 3 нь; (b) 8-аас олон нь; (с) 4-өөс цөөн нь хар өн- гөтэй байх магадлалыг тус тус ол. (d) $Y$ нь “хар өнгөтэй машины тоо” бол $MY$, $DY$, $\sigma Y$-ийг ол.

Байрны дохиоллын систем 99%-ийн найдвартай ажиллана. Системийг суурилуулсан байрнуудаас таамгаар 9 байр сонгон авч эдгээр байранд зориудаар нэвтрэх оролдлого хийсэн гэе. (а) Дор хаяж 1 дохиолол ажиллах; (b) 7-оос олон дохиолол ажиллах; (с) 8 ба түүнээс цөөн дохиолол ажиллах магадлалыг тус тус ол. (d) $X нь “халдлагын үед ажилласан дохиоллын тоо” бол $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийт ол.

Үнэт цаасны зах зээлийн үнэ хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Сүүлийн жилүүдэд үнэт цаасны 20% нь 88-аас (мөнгөний нэгж) бага үнэтэй, 75% нь 90-ээс их үнэтэй байсан бол а) санамсаргүй хэмжигдэхүүний мат.дундаж ба стандарт хазайлтыг ол. б) үнэ 83-96 нэгжийн хооронд хэлбэлзэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Үйлдвэрлэсэн деталын уртыг автомат машинаар шалгана. Деталын урт 50мм дундаж утга бүхий хэвийн тархалттай санамсар- гүй хэмжигдэхүүн байна. Деталын бодит хэмжээ нь 32-68мм бол стандарт гэж тооцно. Таамгаар авсан деталын урт (а) 55мм-ээс их байх, (b) 40мм-ээс бага байх, (с) 48-54мм байх үзэгдлийн ма- гадлалыг тус тус ол.

Зах дээр ирсэн үхрийн махны жин $\sigma= 150$кг стандарт хазайлт бүхий хэвийн тархалттай. Нийт махны 40% нь 1000-аас дээш жинтэй бол үхрийн махны дундаж жинг ол.

Төхөөрөмж эвдрэлгүй ажиллах дундаж хугацаа 80 цаг. Төхөөрөмж эвдрэлгүй ажиллах хугацааг илтгэгч тархалттай гэж үзээд (a) Тархалтын нягт ба тархалтын функцийг бич. (b) Төхөөрөмж 100 цагийн турш эвдрэлгүй ажиллах магадлалыг ол.

Коммутатор 100 хэрэглэгчид үйлчилнэ. 1 минутын туришд ком- мутаторт хэрэглэгчээс дуудлага ирэх магадлал $p= 0, 2$. $X$ нь 1 минутанд ирэх дуудлагын тоо бол (а) $X$ эхний боломжит 4 утгаа авах магадлал хэд вэ? (b) $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол.

Дугуйн диаметрийг хэмжсэн үр дүн $X$. Энэ үр дүнгээр дугуйн талбайг $S=\pi X^2/4$ томъёогоор олно. Диаметрийн хэмжээ $X$-ийг [6; 10] хэрчим дээр жигд тархалттай гэвэл $MS$, $DS$-ийг ол.

Сагсан бөмбөгийн 2 тамирчин шийдэнд ээлжлэн бөмбөг шиднэ. I нь эхэлж тус бүр хоёр, хоёр удаа шидэв. Нэг удаагийн шидэлтээр тэдний бөмбөг оруулах магадлал харгалзан 0.9. 0.8 бөгөөд бөмбөг оруулах бүрд 10 оноо өгнө. Тамирчдын авах "нийт онооны тоо”-ны математик дундаж ба дисперсийг ол.

4 сумтай анчин байг онотол, эсвэл сумаа дуустал буудна. Эхний буудалтаар байг онох магадлал 0.9. Дараагийн буудалт бүрд онох магадлал 0,1-ээр буурна. Анчны "зарцуулсан сумны тоо”-ны математик дундаж ба дисперсийг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний асимметрийн болон эксцессийн коэффициентийг ол. (a) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & x\leq 0,\,\, x>3\\ 2(3-x)/9   & 0<x\leq 3 \end{array}\right. $ (b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & x\leq 0,\,\, x>2\\ (2-x)/2   & 0<x\leq 2 \end{array}\right. $ (c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & x\leq -2,\,\, x>0\\ -x^3/4   & -2<x\leq 0 \end{array}\right. $

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний эхний 3 эрэмбийн анхны ба төвийн моментуудыг ол. (a) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0 & x\leq 1\\ 6/x^7   & x>1 \end{array}\right. $ (b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 1 \\ 4/x^5 & x>1\\ \end{array}\right. $ (c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 1 \\ 5/x^6 & x>1\\ \end{array}\right. $

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний мод ба медианыг ол. (a) $F(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 1 \\ 0,25(-x^2+6x-5) & 1<x\leq 3\\ 1   & x>3 \end{array}\right. $ (b) $F(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 2 \\ 0,25(-x^2+8x-12) & 2<x\leq 4\\ 1   & x>4 \end{array}\right. $ (c) $F(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 1 \\ (1/9)(-x^2+8x-7) & 1<x\leq 4\\ 1   & x>4 \end{array}\right. $

$X$, $Y$, $Z$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын нягтууд нь өгөгдөв. $f_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0,1   &  0<x\leq 10 \\ 0 & x\leq 0,\,\, x>10\\ \end{array}\right. $ $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} e^y   &  y\leq 0 \\ 0 & y>0\\ \end{array}\right. $  $f_3(z)=\left\{\begin{array}{lc} (4-z)/8   &  0<z\leq 4 \\ 0 & z\leq 0,\,\, z>4\\ \end{array}\right. $ $M(5X-2Y+3Z-1)=?$, $D(X\cdot Y-2Z+2)=?$, $D(3X+2Y-2Z-5)=?$

$X$, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын функцүүд нь харгалзан $F_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  x\leq 0 \\ x/4 & 0<x\leq 4\\ 1   & x>4 \end{array}\right. $ $F_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0   &  y\leq 0 \\ \sin{y} & 0<y\leq \pi/2\\ 1   & y>\pi/2 \end{array}\right. $ бол $M(2X-3Y+1)=?$, $D(3X-2Y-2)=?$

$X$, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын хуулиуд нь өгөгдөв. $M(X+Y)$, $M(XY)$, $D(X+Y)$-ийг тус тус ол. (a) $f_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} 0,25   & хэрэв\quad 1<x\leq 5 \\ 0 & хэрэв\quad x\leq 1,\,\, x>5 \end{array}\right. $  $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} y/2   & хэрэв\quad 0<y\leq 2 \\ 0 & хэрэв\quad y\leq 0,\,\, y>2 \end{array}\right. $ (b) $f_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} 1/3   & хэрэв\quad 2<x\leq 5 \\ 0 & хэрэв\quad x\leq 2,\,\, x>5 \end{array}\right. $  $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} (y+2)/6   & хэрэв\quad 0<y\leq 2 \\ 0 & хэрэв\quad y\leq 0,\,\, y>2 \end{array}\right. $ (c) $f_1(x)=\left\{\begin{array}{lc} (x-1)/6   & хэрэв\quad 2<x\leq 4 \\ 0 & хэрэв\quad x\leq 2,\,\, x>4 \end{array}\right. $  $f_2(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0,5  & хэрэв\quad 3<y\leq 5 \\ 0 & хэрэв\quad y\leq 3,\...

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралгүй бөгөөд тархалтын хуулиуд нь өгөгдөв. $M(X+Y)$, $D(X)$, $\sigma X$-ийг тус тус ол. (a) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} (1-x/2)   & хэрэв\quad x\in [0;2] \\ 0 & хэрэв\quad x\notin [0;2] \end{array}\right. $ (b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 2(x-1)   & хэрэв\quad x\in [1;2] \\ 0 & хэрэв\quad x\notin [1;2] \end{array}\right. $ (c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} (x/2-1)   & хэрэв\quad x\in [2;4] \\ 0 & хэрэв\quad x\notin [2;4] \end{array}\right. $ (d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} (3-x)/4   & хэрэв\quad x\in [0;2] \\ 0 & хэрэв\quad x\notin [0;2] \end{array}\right. $

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. Дараах нөхцлүүдийн үед $X$-ийн тархалтын хуулийг гүйцээж байгуул. (a) $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X: & 1 & 2 &3  \\ \hline   p: & p_1 & 0,3 & p_3 \\   \hline \end{array}$ $MX=2,3$, $DX=0,61$. (b) $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X: & 2 & 3 &4  \\ \hline   p: & p_1 & p_2 & 0,4 \\   \hline \end{array}$ $MX=3,3$, $DX=0,41$. (c) $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X: & -1 & 2 &5  \\ \hline   p: & 0,1 & p_2 & p_3 \\   \hline \end{array}$ $MX=2,6$, $DX=3,24$.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. I — IV эрэмбийн анхны ба төвийн моментууд болон асимметр, эксцессийн коэффициентуудыг ол. (a) $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X: & 1 & 2  \\ \hline   p: & 0,4 & 0,6  \\   \hline \end{array}$ (b) $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X: & 2 & 3  \\ \hline   p: & 0,3 & 0,7  \\   \hline \end{array}$ (c) $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X: & 1 & 3  \\ \hline   p: & 0,6 & 0,4  \\   \hline \end{array}$ (d) $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X: & 3 & 4  \\ \hline   p: & 0,8 & 0,2  \\   \hline \end{array}$

$X$ нь фирмийн ашиг бөгөөд доллараар илэрхийлэгдсэн, $Y$ нь долларын төгрөгөөр илэрхийлэгдсэн ханш байг. Тэгвэл төгрөгөөр илэрхийлэгдсэн ашгийн тархалтын хууль $Z=X\cdot Y$-ийг байгуул. Үүнд: $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X: & 1000 & 2000  \\ \hline   p: & 0,7 & 0,3  \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y: & 25 & 27  \\ \hline   q: & 0,4 & 0,6 \\   \hline \end{array}$

Хоёр автомат суурь машин дээр ижил төрлийн детал үйлдвэрлэнэ. Суурь машин бүрийн ээлжиндээ үйлдвэрлэх гологдол бүтээг- дэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. I суурь машин $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X: & 0 & 1 & 2  \\ \hline   p: & 0,1 & 0,6 & 0,3 \\   \hline \end{array}$ II суурь машин $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y: & 0 & 2  \\ \hline   q: & 0,5 & 0,5 \\   \hline \end{array}$ 2 суурь машин ээлжиндээ үйлдвэрлэх нийт гологдлын тархалтын хуулийг байгуулж, $M(X+Y)=MX+MY$ нөхцөлийг шалга.

$X$, $Y$, $Z$ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бөгөөд $X$—комнаний орлого, $Y$—компаний зардал, $Z=X-Y$ нь компаний ашиг бол орлого, зардал хоорондоо хамааралгүй гэж үзээд ашгийн тархалтын хуулийг байгуул. Үүнд: $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X: & 2 & 5 & 8  \\ \hline   p: & 0,5 & 0,4 & 0,1 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y: & 1 & 4  \\ \hline   q: & 0,2 & 0,8 \\   \hline \end{array}$

$X$, $Y$ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X & 2 & 4 & 6  \\ \hline   p & 0,2 & 0,5 & 0,3 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y & 1 & 3  \\ \hline   q & 0,3 & 0,7 \\   \hline \end{array}$ (a) $Z=2X-5Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг байгуул. (b) $MZ=2MX-5MY$, $DZ=4DX+25DY$ болохыг үзүүл.

$X$, $Y$ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X & 2 & 3 & 4  \\ \hline   p & 0,3 & 0,5 & 0,2 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y & 1 & 5  \\ \hline   q & 0,6 & 0,4 \\   \hline \end{array}$ (a) $Z=3X-2Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг байгуул. (b) $MZ=3MX-2MY$, $DZ=9DX+4DY$ болохыг үзүүл.

$X$, $Y$ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   Y & 1 & 2 & 3  \\ \hline   q & 0,2 & 0,6 & 0,2 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X & 0 & 2  \\ \hline   p & 0,3 & 0,7 \\   \hline \end{array}$ (a) $X-Y$, $X\cdot Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул. (b) $M(X-Y$, $D(X-Y)$, $M(X\cdot Y)=?$ (c) $M(X-Y)=MX-MY$, $D(X+Y)=DX+DY$, $M(X\cdot Y)=M(X)\cdot M(Y)$ болохыг шалга.

$X$, $Y$ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   Y & 1 & 3 & 5  \\ \hline   q & 0,1 & 0,7 & 0,2 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   X & 2 & 4  \\ \hline   p & 0,2 & 0,8 \\   \hline \end{array}$ (a) $Y-X$, $X\cdot Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул. (b) $M(Y-X$, $D(Y-X)$, $M(X\cdot Y)=?$ (c) $M(Y-X)=MY-MX$, $D(Y-X)=DX+DY$, $M(X\cdot Y)=M(X)\cdot M(Y)$ болохыг шалга.

$X$, $Y$ хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $\begin{array}{|c|c|c|c|}   \hline   X & 0 & 1 & 2  \\ \hline   p & 0,1 & 0,5 & 0,4 \\   \hline \end{array}$ $\begin{array}{|c|c|c|}   \hline   Y & 0 & 3  \\ \hline   q & 0,4 & 0,6 \\   \hline \end{array}$ (a) $X+Y$, $X\cdot Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул. (b) $M(X+Y$, $D(X+Y)$, $M(X\cdot Y)=?$ (c) $M(X+Y)=MX+MY$, $D(X+Y)=DX+DY$, $M(X\cdot Y)=M(X)\cdot M(Y)$ болохыг шалга.

Үнэт цаасны 3 төрлийн хувьцаанаас ашиг олох магадлал харгал- зан 0.5, 0.6. 0.7. Ү нь "эзэндээ ашиг өгсөн хувьцааны тоо” бол $MX$, $DX$, $\sigma X$- тоон үзүүлэлтүүдийг ол.

Үл хамаарах туршилт бүрд $A$ үзэгдэл 0,2 магадлалтай илэрнэ. Туршилтыг 5 улаа лавтан хийсэн нөхцөлд “$A$ үзэгдэл явагдсан тоо"-ны математик дундаж ба дисперсийг ол.

10 леталын 3 нь стандарт биш. Таамгаар 3 детал авахад түүвэр дахь "станларт биш леталын тоо”-ны математик дундаж ба дисперсийг ол.

Даатгалын компани даатгуулагчдынхаа дунджаар 10%-д нь эрсдлийн мөнгө төлдөг. Таамгаар сонгон авсан 4 даатгуулагчийн хувьд “эрсдлийн мөнгө авсан даатгуулагчийн тоо"-ны математик дундаж, диснерсийг ол.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. $MX$, $DX$, $\sigma X$-ийг ол. а) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline   x_i & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline   p_i & 0,1 & 0,3 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \\   \hline \end{array} $ б) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline   x_i & -2 & -1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline   p_i & 0,01 & 0,15 & 0,24 & 0,4 & 0,2 \\   \hline \end{array} $ в) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline   x_i & 0 & 2 & 3 & 6 & 8 \\ \hline   p_i & 0,05 & 0,25 & 0,4 & 0,2 & 0,1 \\   \hline \end{array} $ г) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline   x_i & -1 & 0 & 4 & 5 & 6 \\ \hline   p_i & 0,25 & 0,15 & 0,3 & 0,2 & 0,1 \\   \hline \end{array} $

3 анчин бие биеээсээ үл хамааран чоныг нэг, нэг бууджээ. Анчин бүрийн онох магадлал 0,4. Хэрэв чоныг 1 оноход үхэх магадлал 0.2, 2 оноход үхэх магадлал 0.6, 3 оноход үхэх магадлал 0.9 бол чоно авлах үзэгдлийн магадлалыг ол.

Оюутан сорилдоо тэнцэхийн тулд 3 даалгавар гүйцэтгэх ёстой. Оюутан даалгавар бүрийг гүйцэтгэж чадах магадлал 0,6. Хэрэв, 1 даалгавар гүйцэтгэж чадвал сорилдоо тэнцэх магадлал 0,4. 2 даалгавар хийж чадвал тэнцэх магадлал 0,7 бол оюутан сорилдоо тэнцэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Багаж 3 элементээс бүрдэх ба элемент бүр баталгаат засварын хугацаанд ажиллахгүй байх магадлал 0,1. Нэг элемент ажиллахгүй бол багаж 0.6 магадлалтай, 2 элемент ажиллахгүй бол багаж 0.8 магадлалтай эвдрэх ба гурвуулаа ажиллахгүй бол бүрэн эвдэрнэ. Баталгаат засварын хугацаанд багаж эвдрэх магадлал хэд вэ?

Иргэн А, В,С гэсэн 3 өөр компаний хувьцаа эзэмшинэ. Эдгээр компаний хувьцаа ашгаа өгөх магадлал харгалзан 0.5, 0.4, 0.3. Түүний эзэмшдэг 4 хувьцаа ашгаа өгсөн бол 2 нь А компаний, үлдсэн 2 нь нөгөө хоёр компанийх байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Хайрцагт хар ба улаан шаар тус бүр нэг, цагаан шаар 2 байв. Хайрцгаас таамгаар 1 шаар авч буцааж хийх үйлдлийг 6 удаа давтав. Бүх өнгийн шаар тус бүр 2 удаа гарч ирэх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Дугуйд багтсан квадрат байв. Дугуй руу таамгаар шидсэн 10 цэгээс 4 нь квадратад, 3 нь аль нэг сегментэд, үлдсэн 3 нь үлдсэн сегмент тус бүрд нэг нэгээрээ унах үзэгдлийн магадлалыг ол.

Тооны машины санах ой 8 оронтой. Орон бүр дээр “0” ба “1” гэсэн хоёртын цифр ижил магадлалтайгаар гарч ирнэ. Санамсаргүйгээр 8 оронтой хоёртын тоо бичихэд “1” гэсэн цифр 5 удаа бичигдсэн байх магадлалыг ол.

Шоог 6 удаа хаяв. 2 нь тэгш цифрээр, 1 нь "5"-ын цифрээр, 3 нь “1” юм уу эсвэл “3” -ын цифрээр тус тус буух үзэгдлийн магадлалыг ол.

Нэг удаагийн буудалтаар байг онох магадлал 0.2. Байг дор хаяж 1 удаа онох магадлал 0,9-өөс багагүй байхын тулд хэдэн удаа буудлага хийвэл зохих вэ?

Зорчигч галт тэрэгнээс хоцрох магадлал 0,01. 500 зорчигчоос, галт тэрэгнээс хоцрох зорчигчийн хамгийн их магадлалтай тоо ба түүний магадлалыг ол.

Банк 48 үйлчлүүлэгчид зээл олгосон. Хугацаандаа зээлээ төлөх магадлал зээлдэгч бүрийн хувьд 0,9 бол хугацаандаа зээлээ төлөх үйлчлүүлэгчдийн хамгийн их магадлалтай тоо ба магадлалыг ол.

Тухайн дүүргийн насанд хүрсэн 3 хүний 2 нь жолооны үнэмлэхтэй. Тус дүүргээс таамгаар сонгон авсан 4 хүний (а) дор хаяж 3 нь (b) 1-ээс олонгүй нь   (с) 2-оос цөөнгүй 3-аас олонгүй нь жолооны үнэмлэхтэй байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Сорилын даалгавар 4 асуултаас тогтоно. Асуулт бүр 5 хариулттай ба тэдгээрийн зөвхөн нэг нь зөв. Нэг ч асуултыг мэдэхгүй сурагч санамсаргүйгээр тааж хариулахад (а) 3 асуулт (b) 3-аас цөөнгүй асуултанд    (c) дор хаяж 2 асуултанд зөв хариулж чадах үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Ижилхэн чадвартай өрсөлдөгчтэй шатар тоглоход тэнцэхийг эс тооцвол (a) 4 тоглоход 3-т нь хожих эсвэл 8 тоглоход 5-д нь хожих (b) 4 тоглоход 3-аас цөөнгүйд нь хожих эсвэл 8 тоглоход 5-аас цөөшүйд нь нь хожих магадлалуудын аль нь их вэ?

Даатгалын компани байгуулсан нийт гэрээнийхээ дунджаар 15%- д нь даатгалын мөнгө төлдөг. Даатгуулагчидтай байгуулсан 10 гэрээний (а) 3-т нь (b) 2-оос цөөнгүйд нь (с) дор хаяж 1-д нь даатгалын мөнгө төлөх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Даатгалын компани байгуулсан нийт гэрээнийхээ дунджаар 15%- д нь даатгалын мөнгө төлдөг. Даатгуулагчидтай байгуулсан 10 гэрээний (а) 3-т нь (b) 2-оос цөөнгүйд нь (с) дор хаяж 1-д нь даатгалын мөнгө төлөх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Цех 6 мотортой. Хугацааны тухайн агшинд ажиллаж байх магадлал мотор бүрийн хувьд 0,8. Хугацааны тодорхой аггаинд (a) 4 мотор, (b) 2-оос олонгүй мотор, (c) дор хаяж 5 мотор ажиллаж байх магадлалыг тус тус ол.

Өвчтөнд цус сэлбэхэд донор болон өвчтөний цусны бүлгийг тооцох шаардлагатай. Аль ч бүлгийн цустай өвчтөний хувьд өөрийнх нь болоод өөрөөс нь өмнөх бүлгийн цус таарна. I бүлгийн цустай хүнд зөвхөн I бүлгийн цус таарна. Тухайн орон нутгийн хүн амын 33.7% I бүлгийн, 37.5% нь II бүлгийн, 20.9% нь III бүлгийн, 7.9% нь IV бүлгийн цустай бол санамсаргүй сонгон авсан өвчтөнд: (a) цус сэлбэж болох (b) зөвхөн 2 донор байх үед цус сэлбэж болох үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Оюутан 3 аргаар бусдаасаа хуулах төлөвлөгөөтэй. Арга бүрийг хэрэгжүүлэх боломж харгалзан 60%, 30%, 10% бөгөөд арга бүрийн илчлэгдэхгүй байх магадлал харгалзан 0.4, 0.5, 0.7 бол: (a) хуулах оюутны оролдлого бүтэх магадлалыг ол. (b) хэрэв бүтсэн бол 2-р аргыг хэрэглэсэн байх магадлал ол.

Тухайн хот 3 нисэх буудалтай. Агаарын тээврийн хөдөлгөөний харгалзан 50%, 30%, 20%-ийг А, В, С нисэх буудлууд гүйцэтгэдэг. Нисэх буудал бүрээс зорчигчийн зөвшөөрөлгүй бараа илрүүлэх магадлал харгалзан 0.9, 0.8, 0.85. Хэн нэгэн зорчигчоос зөвшөөрөлгүй бараа илрүүлсэн бол (a) Зорчигч В буудлыг (b) Зорчигч С буудлыг ашигласан байх үзэгдлийн магадлалын тус тус ол.

Төмөрлөгийн үйлдвэрт ажиллагсадын 20% нь гадаадын мэргэжилтэн, 65% нь дотоодын мэргэжилтэй ажилчид, 15% нь шинээр ирсэн дадлагын ажилчид байв. Гадаадын мэргэжилтнүүдийн 90%, мэргэжилтэй ажилчдын 85%, дадлагын ажилчдын 80% нь эрэгтэй байв. Үйлдвэрээс таамгаар нэг ажилчин сонгон авахад (a) Эмэгтэй ажилчин байх (b) Сонгосон ажилчин эмэгтэй байсап бол тэр нь мэргэжилтэй ажилчин байх үзэгдлийн магадлалып тус тус ол.

Худалдааны хөвд 3 өөр фирмээс 5:8:7 харьцаагаар бүтээгдэхүүн нийлүүлнэ. Нийлүүлсэн бүтээгдэхүүний харгалзан 90%, 85%, 75% нь стандартын байдаг бол худалдааны төвөөс таамгаар авсан бүтээгдэхүүн (a) Стандартын байх (b) Стандарт бүтээгдэхүүнийг 3-р фирм нийлүүлсэн байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Даатгалын компани даатгуулагч нараа: I бүлэг-бага эрсдэлтэй, II бүлэг-дунд зэрэг эрсдэлтэй, III бүлэг- өндөр эрсдэлтэй гэсэн 3 бүлэгт хуваана. Нийт даатгуулагчдын 50% I бүлэгт, 30% II бүлэгт, үлдсэн хувь нь III бүлэгт хамаарна. Эрсдэлд орж даатгалын мөнгө авах магадлал бүлэг бүрийн даатгуулагчийн хувьд харгалзан 0.01, 0.03, 0.08 бол (a) Хэн нэгэн даатгуулагч даатгалын мөнгө авах (b) Даатгалын мөнгө авсан даатгуулагч бага эрсдэлтэй бүлэгт хамаарах үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Сургуулийн нэг бүлэг 10 эрэгтэй, 5 эмэгтэй сурагчидтай байв. Санамсаргүйгээр 3 сурагчийг дэс дараалан сонгон авахад (a) Эхний 2 сурагч эрэгтэй, 3 дахь нь эмэгтэй байх (b) Эхний ба 3 дахь сурагч эмэгтэй, 2 дахь нь эрэгтэй байх (c) Эхний ба 3 дахь сурагч ижил хүйстэй, 2 дахь нь эсрэг хүйстэй байх (d) Сонгосон 3 сурагчийн 2 нь эмэгтэй байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 гэсэн цифрүүдээс 2 цифрийг санамсаргүй сонгон авахад (a) Хэрэв, нийлбэр нь сондгой бол тэдгээрийн нэг нь 5 гэсэн цифр байх (b) Хэрэв, нэг нь 5 гэсэн цифр байсан бол нийлбэр нь тэгш байх (c) Хэрэв нийлбэр нь тэгш бол хоёулаа сондгой тоо байх (d) Хэрэв, нэг нь 7 гэсэн цифр байсан бол үржвэр нь тэгш байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

Хоёр шоо хаяв. $A$—Бүгд тэгш цифр буух, $B$—Зөвхөн нэг удаа 4-ийн цифр буух үзэгдлүүд бол   (а) $P(A|B)=?$ (b) $P(B|A)=?$

Хоёр шоо хаяв. $A$—Дор хаяж нэгд нь 2-ын цифр буух, $B$—Бүгд өөр өөр цифрээр буух үзэгдлүүд бол   (а) $P(A|B)=?$ (b) $P(B|A)=?$

$A$, $B$ нь дурын үзэгдлүүд бөгөөд $P(A)= 1/4$, $P(B) = 2/3$, $P(A+B)= 3/4$ бол (а) $P(\bar{A}|B)=?$ (b) $P(A|\bar{B})=?$  (с)  $\bar{A},\,\, B$ хамааралтай эсэх? (d) $P(A\cdot \bar{B})=?$ (е) $P(\bar{A}\cdot B)=?$ (f) $P(\bar{A}\cdot \bar{B})=?$.

$A$, $B$ нь дурын үзэгдлүүд бөгөөд $P(A)= 2/3$, $P(B)= 1/2$, $P(A+B)= 5/6$ бол (a) $P(A|B)=?$  (b) $P(B|A)=?$  (c) $A,\,\, B$ хамааралтай эсэх?  (d) $P(A\cdot\bar{B})=?$  (e) $P(\bar{A}\cdot B)=?$    (f)  $P(\bar{A}\cdot\bar{B})=?$

Үйлдвэрийн бүтээгдэхүүний 4% нь $A$ төрлийн, 3.5% нь $B$ төрлийн гологдол байв. Нийт бүтэээгдэхүүний 95% нь стандартын байсан бол (a) $A$ төрлийн гологдолгүй бүтээгдэхүүн дотор $B$ төрлийн гологдол илрэх (b) $A$ төрлийн гологдолтой бүтээгдэхүүн дотор $B$ төрлийн гологдол илрэх магадлалыг тус тус ол

Поликарбонат хуванцар дискнээс 100 дээж авч зурагдахгүй чанар болон цохилт даах чанарыг судлахад дараах үр дүн илэрчээ.                                                       цохилт даах чанар                                                       өндөр бага зурагдахгүй чанар    өндөр          70       9                                    бага             16    5 $A$—таамгаар авсан диск цохилт даах чанар өндөртэй байх үзэгдэл, $B$—таамгаар авсан диск зурагдахгүй чанар өндөртэй байх үзэгдэл бол (a) $P(A|B)$, $P(B|A)$ магадлалуудыг о...

Үйлчилгээний төвд хэрэглэгчдээс ирсэн дуудлагын 75% нь гомдол, 25% нь мэдээлэл авах хүсэлт байдаг байна. Харин гомдолын 40% компьютерийн тоног төхөөрөмжтэй, 57% программ хангамжтай, 3% заавраа буруу ашигласантай холбоотой, мэдээлэл авах хүсэлтийн 50% нь техникийн асуудал, үлдсэн хувь нь нэмэлт бүтээгдэхүүн худалдан авалттай холбоотой хандалтууд байдаг гэнэ. Үйлчилгээний төвд ирсэн дуудлагаас санамсаргүй 1-ийг сонгон авахад тэр нь (a) заавраа буруу ашигласан дуудлага байх (b) компьютерийн тоног төхөөрөмж юмуу эсвэл программ хангамжтай холбоотой дуудлага байх (c) нэмэлт худалдан авалттай холбоотой дуудлага байх магадлалыг тус тус ол.

Компьютерийн гарын гэмтлийн 12% нь буруу холболт, 88% нь механик гэмтэлтэй холбоотой гэж тогтоожээ. Буруу холболтын 35% утаснаас, 13% дутуу залгалтаас. үлдсэн хувь нь утасны гагнаас муугаас, механик гэмтлийн 27% товчлуураас. 73% нь буруу угсралтаас болдог аж. Тэгвэл таамгаар авсан гэмтэлтэй гарын хувьд (a) Гэмтэл товчлуураас болсон байх (b) Гэмтэл дутуу залгалтаас эсвэл утас нь муу гагнагдсанаас болсон байх магадлалыг тус тус ол.

Эрчүүд болон эмэгтэйчүүд өөрийн ирээдүйн хосоо сонгох талаар өөр өөр бодолтой байдаг аж. Гэрлэх насны 1000 залуу “Ирээдүйн хосоо сонгоход тань дараах хоёр асуудлын аль нь илүү чухал вэ? ”гэсэн асуултанд хэрхэн хариулсан магадлалуудыг дараах хүснэгтэнд үзүүлэв. Үүнд, $F$—Сэтгэл санаагаа хуваалцах нь чухал $G$—Сайхан амьдрах нөхцөл бүрдүүлэх нь чухал Асуултанд хариулсан эдгээр залуусаас хэн нэгийг таамгаар сонгон авсан гэвэл дараах магадлалуудыг ол (а) $P(F)$, $P(G)$ (b) $P(F|M)$ (с) $P(F|W)$ (d) $P(M|F)$ (е) $P(W|G)$.

Америк хөл бөмбөгийн дээд лигийн тэмцээн явагдах хугацаанд эмч нарын баг нийт 256 гэмтэл илрүүлжээ. Энэ судалгааны үр дүнг АНУ-ын спортын анагаах ухааны сэтгүүлд хэвлүүлснийг хүснэгтэнд үзүүлэв. Эдгээр 256 тамирчдаас таамгаар нэг тамирчин сонгон авсан гэвэл дараах магадлалуудыг ол (а) $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$ (b) $P(G)$, $P(D)$ (с) $P(AG)$ (d) $P(G|A)$  (е) $P(G|B)$  (f) $P(G|C)$  (g) $P(C|D)$ (h) $P(\bar{B})$.

Хайрцагт хэлбэр хэмжээгээрээ ижил цахилгаан лампууд байв. Тэдгээрийн 6 нь 100 ваттын, 10 нь 75 ваттын ламп байв. Хайрцгаас 3 ламп таамгаар авахад (a) Ижил чадалтай лампууд байх (b) Дор хаяж 2 нь 100 ваттын ламп байх (c) Нэгээс цөөнгүй нь 75 ваттын ламп байх магадлалыг тус тус ол.

Сонины газар шуудангийн салбаруудад сонингоо хүргэнэ. Шуудангийн 3 өөр салбарт сонин хугацаандаа очих магадлал харгалзан 0.95, 0.9, 0.8 бол (a) Сонин зөвхөн нэг салбарт хугацаандаа очих (b) Дор хаяж нэг салбарт сонин хоцорч очих (c) Нэгээс олонгүй салбарт хоцрохгүй очих магадлалыг тус тус ол.

Оюутан өөрт хэрэгтэй томъёогоо 3 өөр толь бичгээс хайв. Түүний хайсан томъёо толь бичиг тус бүрт байх магадлал харгалзан 0.6. 0.7, 0.8 бол хайсан томъёо нь 2-оос цөөнгүй толь бичгээс олдох үзэгдлийн магадлалыг ол.

Цахилгаан хэлхээ өгөгдөв. Хэлхээний элементүүд хоорондоо хамааралгүй бөгөөд элемент бүрийн ажиллахгүй байх магадлал өгөгд сөн бол (a) Хэлхээгээр гүйдэл гүйх   (b) Хэлхээ тасрах үзэгдлийн магадлалыг тус тус ол.

3 тамирчин сагсанд бөмбөг шидэв. Тамирчин бүр бөмбөг оруулах магадлал харгалзан 0.8, 0.7, 0.6. (а) зөвхөн нэг нь оруулах   (b) 2 нь оруулах  (c) ядаж нэг нь оруулах (d) нэг нь ч үл оруулах магадлалыг тус тус ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $a= 4.5$, $\sigma= 0.25$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай. 3 удаа туршилт хийхэд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга дор хаяж 1 удаа [4.5; 5.0] завсарт унах магадлалыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $a= 1.6$, $\sigma= 1.0$ нараметрүүд бүхий хэвийн тархалттай. 2 удаагийн туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга [1;2] завсарт 2 удаа унах магадлалыг ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $a= 2.2$, $\sigma= 0,5$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай. Эхний туршилтаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга [3; 4] завсарт, дараагийн туршилтанд [1;2] завсарт унах магадлалуудын аль нь их вэ?

Өндөр чанартай обойн үйлдвэрлэлд ашигладаг цаасны $1m^2$-ын жин бодит хэмжээ нь 70г, дундаж квадрат хазайлт нь 5г байх хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна. Тэгвэл $1m^2$ цаасны жин 78г-аас хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Хэрэв $X\sim N(a,\sigma^2)$ ба доорхи нөхцөл өгөгдсөн бол $P(X\in[\alpha;\beta])$ магадлалыг ол. (a) $a=10,\,\, P(8<X<12)=0,38292,\,\, \alpha=5,\,\, \beta=9$. (b) $a=8,\,\, P(4<X<12)=0,8904,\,\, \alpha=3,\,\, \beta=6$. (c) $a=-6,\,\, P(-12<X<0)=0,9836,\,\, \alpha=-7,\,\, \beta=-4$. (d) $a=5,\,\, P(0<X<10)=0,98758,\,\, \alpha=6,\,\, \beta=8$.

Үйлдвэрлэсэн деталийн урт нь бодит хэмжээнээсээ хазайх ха- зайлт хэвийн тархалттай. Хэрэв бодит хэмжээ нь 40см, дундаж квадрат хазайлт нь 0,4см бол деталийн уртын хазайлтыг 0,8 ма- гадлалтайгаар $\varepsilon$ нарийвчлалтай тооцоолно гэвэл $\varepsilon$ хэд байх вэ?

Ачаа тээврийн вагоны ачааны жин $a= 65$ (тонн) , $\sigma= 2$ (тонн) параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай. Ээлжит вагоны жин 70 тонноос хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$-ийн ($X\sim N(a,\sigma^2)$) нягтын функц өгөгдөв. $3\sigma$-ийн дүрмийг ашиглан (a) санамсаргүй хэмжигдэхүүн утгуудаа 0,9973 магадлалтай хүлээн авах $[\alpha, \beta]$ интервалыг ол. (b)  $P(|X - a| <\varepsilon)$ магадлалыг ол. 1) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-3)^2/2},\,\, \varepsilon=1,5$ 2) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{18\pi}}e^{-(x+2)^2/18},\,\, \varepsilon=3$ 3) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-(x-4)^2/8},\,\, \varepsilon=0,5$ 4) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{4,5\pi}}e^{-(x-1)^2/4,5},\,\, \varepsilon=2$

$X$ нь $A$, $\sigma^2$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол (а) нягт ба тархалтын функцийг бич. (b) өгөгд сөн $[\alpha;\beta]$ завсраас утгаа авах магадлалыг ол. 1) $a=1,\,\, \sigma^2=16,\,\, \alpha=-3,\,\, \beta=3$. 2) $a=-2,\,\, \sigma^2=9,\,\, \alpha=-4,\,\, \beta=1$. 3) $a=5,\,\, \sigma=2,\,\, \alpha=4,\,\, \beta=16$. 4) $a=-1,\,\, \sigma=4,\,\, \alpha=-3,\,\, \beta=0$.

Хоорондоо үл хамааран ажиллах 2 элементийг туршив. Элемент бүрийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа $\lambda_1= 0.02$, $\lambda_2= 0.05$ параметр бүхий илтгэгч тархалттай. Тэгвэл $t = 6$ цагийн туршид (а) хоёул ажиллахгүй байх (b) зөвхөн нэг нь ажиллахгүй байх (с) ядаж нэг нь ажиллахгүй байх (d) хоёул ажиллах магадлалыг тус тус ол.