Магадлалын онол статистикийн лекц, семинарын бодлого

Параметрийн таамаглалыг шалгах  1. Бодлогын тавил, үндсэн ойлголтууд Өмнөх зүйлд бид тархалтыц үл мэдэгдэх параметрийг үнэлэх аргуудтай танилцсан билээ. Параметрийн цэгэн ба завсран үнэлэлтийг олох нь магадлалын туршилтын урьдчилсан шат юм. Судалгааны эцсийн зорилт нь технологийн процессуудыг бүтээмжээр, нарийвчлалаар , эсвэл хэмнэлтээр нь жишиж үнэлэх , багаж төхөөрөмж , бүтээгдэхүүний шинж чанарыг жиших явдал байдаг. Ийм төрлийн бодлогыг жишилтийн бодлого гэнэ. Жишилтийн бодлогын математик загвар нь тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах статистик бодлого болдог. Тархалтын параметрүүдийн өөрчлөлт нь практикт багаж, хийц технологийн процессын ялгааг тусгадаг. Жишилтийн бодлогыг шийдэхийн тулд эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр $(x_1,\,x_2,\,\ldots , x_n)$ зохиож, гистограмм, полигон болон бусад дүгнэлтээс үүдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$-ийн тархалтын хэлбэрийн талаар шинжээч таамаглал дэвшүүлж, түүний параметрийг үнэлэн магадлалын туршилтын загвар $\Omega_x,\, B_x, F(x)...

Шинэ эм хорт хавдрыг хэрхэн бууруулж буйг тодорхойлох зорилгоор тус бүр нь 4 грамм хавдартай 10 хулгана, дээр туршив. Хэрэглэж буй эмийн тоог өөрчилж, дараа нь хавдрын буурсан массыг хэмжив. Эмийн кодын тоо $x$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 буурсан хавдрын жин $y$ 0.5 0.9 1.2 1.35 1.5 1.6 1.53 1.38 1.21 0.65 Энэхүү өгөгдлөөр $\bar{y_x}=b_0+b_1x+b_2x^2$ загварын параметрүүдийг үнэл. Эмийн код хэд байхад хавдар хамгийн ихээр буурах вэ?

Тодорхой төрлийн ганг эвдрэх хүртэл давтах циклийн тоо(мянга) болон шахалтын (100 фунт/дюйм$^2$) хэмжээ $S\frac{A}{N^m}$ харьцаагаар холбогдохыг тогтоожээ. Үүнд, $A$, $m$-үл мэдэгдэх тогтмолууд. Дараах түүврийн өгөгдлийг ашиглан $A$, $m$ параметрүүдийг үнэл. шахалт $S$ 55 50.5 43.5 42.5 42.0 41.0 35.7 34.5 33 32 давтах цикл $N$ 0.293 0.925 6.75 18.1 29.1 50.5 126 215 445 420

Эх үүсвэрийг тасалсны дараа дулаан тархалтын хувь хэмжээ хугацаанаас хамаарах хамаарал $P=1-e^{-\alpha t}$ хуулинд захирагдана гэж үзжээ. Үл мэдэгдэх параметр $\alpha$-г дараах түүврээр үнэл. $P$ 0.07 0.21 0.32 0.38 0.40 0.45 0.51 $t$ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1957онд Голландын инженер-технологич Ж.Р.Дежонг гараар хийдэг хялбар ажиллагааны хугацааг олон давтаж хийсэи туршлагаас нь хамааруулан $T=t\cdot S^{-n}$ функцээр загварчилж болох санаа дэвшүүлжээ. Үүнд, $T$-хэрэгжүүлэх хугацаа, $n$-ажиллагааг давтан хийсэн тоо. Тэгвэл $t$, $S$ параметрүүдийг дараах түүврээр үнэл. $n$ 0 1 2 3 4 5 6 $T$ 22.4 21.3 19.7 15.6 15.2 13.9 13.7

Дараах түүврийг ашиглан $\bar{y_x}=\frac{x}{b_0+b_1x}$ загварын параметрүүдийг үнэл. $n$ 1 2 3 4 5 6 7 $t$ 62.1 87.2 109.3 127.3 134.7 136.2 136.9

Систем тэгпштгэлийг бодох үргэлжлэх хугацаа $t$ болон системийи эрэмбэ $n$-ийн хамаарлыг судалж дараах түүвэр үүсгэв. $n$ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $t$ 12 35 75 130 210 315 445 600 800 Хамаарлыг $t=An^{\gamma}$ хэлбэртэй гэж үзэн $A$, $\gamma$ параметрүүдийг үнэл.

$A$ ба $B$ түүврийн утгуудаар: $A$ түүврийн вариацийн цуваа зохиож, полигон байгуул, $B$ түүврийн интервалын вариацийн цуваа зохиож, гистограмм байгуул, $A$ ба $B$ түүврийн туршилтын тархалтын функцийг олж график байгуул, $A$ ба $B$ түүвэр бүрийн хувьд $\overline{X}$, $\overline{S^2}$, $\overline{S}$, $\overline{M_0}$, $\overline{m_e}$ тоон үзүүлэлтүүдийг ол.

Өмнөх 15 -р бодлогын үр дүнг ашиглан $A, B$ түүврүүдийг хэвийн тархалттай эх олонлогоос авсан мэтээр үзэж, эх олонлогийн $MX,$ $DX$, $\sigma \!X$ параметрүүдийн итгэх завсрыг $\alpha = 0.05$ итгэх түвшинтэйгээр түүвэр бүрийн хувьд байгуул. (а) $А\sim N(a_x,\sigma_x^2)$ бол $a$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын зүүн хил $a_1$-ийг ол. (b) $B\sim N(a_y,\sigma_y^2)$ бол $\sigma_y$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын баруун хил $\sigma_2$ -ийг ол.

Итгэх түвшин $\alpha$ -ийн хувьд $B$ түүврийн утгуудаар, " эх олонлог хэвийн тархалттай  байх" тухай таамаглал шалга. Тaамаглалыг шалгах статистикийн  утгa  $\chi^2_{\mbox{аж}}$ болон  $\chi^2_{l,\alpha}$ онолын утгыг тус тус илгээ. Итгэх түвшин $\alpha=0.05$.  

$C$ түүврийн эхний баганы $13$ ширхэг утга болох $X$ түүврээр өгөгдсөн итгэх түвшин $\alpha=0.05$ -ийн хувьд $H_{0}:~a\!=\! M$ таамаглалыг $H_{1}:~a> M$ өрсөлдөгч таамаглалын нөхцөлд шалга. Энд $M=[\overline{X}+3]$ - бүхэл хэсэг.

$C$ түүврийн  утгуудаар хоёр хэмжээст түүврийн корреляцийн таблиц зохио. $r$ -утгыг илгээ.

Өмнөх 19 -р бодлогын өгөгдөлийг ашиглан түүврийн корреляцийн коеффициентийг олж, шугаман регрессийн тэгшитгэлүүд ($y_x=b_0+b_1x,~x_y=a_0+a_1y$) -ийг бичиж $a_0$, $b_1$ утгуудыг илгээ.

Барометрийн даралт ба өндөр дараах харьцаагаар холбоглоно. $\frac{p}{p_0}=e^{-\frac{k}{T}z}$ Үүнд, $p$ нь $z$ өндөрт байгаа барометрийн даралт. $T$-температур. $p_0$, $k$-параметрүүд. Дараах 6 ажиглалтын утгаар $k/T$ ба $p_0$ параметрүүдийн үнэлэлтийг ол. $z$ 1000 1100 1200 1400 1500 1600 $p$ 640 595 504 363 310 267

Өгөгдсөн түүврээр $y_x=b_0+b_1\cdot \ln{x}$ загварын парамерүүдийн үнэлэлтийг ол. $x_i$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $y_i$ 2.11 2.45 2.61 2.73 2.75 2.81 2.87 2.91 2.96 3.03 3.05 3.12

Өгөгдсөн түүврийг ашиглан $\bar{y_x}=b_0+\frac{b_1}{x}$ регрессийн коэффициентуудыг хамгийн бага квадратын аргаар ол.

Өгөгдсөн түүврийг ашиглан $\bar{y_x}=b_0+b_1x+b_2x^2$ регрессийн коэффициентуудыг хамгийн бага квадратын аргаар ол

Саяхан шинээр барьсан хоёр урсгалт замын 957м хэсэгт түүвэрлэн судалгаа хийж, өрмөөр цооног тавин замын шороон болон асфальтан хучаасыи зузааныг хэмжсэн үр дүн өгөв (метрээр). 0.6 1.1 0.8 0.6 0.4 0.8 0.8 0.7 0.8 0.5 0.4 0.6 Судалгааны зорилго нь замын зузааны дисперс 0.05мм$^2$-ээс хир ялгаатай байгааг тогтооход оршино. Дисперсийн тухай таамаглалыг 95%-ийн итгэх магадлалын хувьд шалга.

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр авч түүврийн дундаж $\bar{X}$-г олсон гэе. Дараах тохиолдлуудад өгөгдсөн таамаглалыг шалгаж, шийдвэр гарга.

Газрын самарны тос тодорхой зөвшөөрөгдөх түвшний хольц агуулдаг. Тодорхой маркийн 12 лааз тосыг санамсаргүй сонгон авч тестлэхэд илэрсэн хольцын хувь дараах түүврээр өгөгдөв. 1.9  2.7  2.1  2.8  2.3  3.6  1.4  1.8  2.1  3.2  2.0  2.3 Хольцын хувийг хэвийн тархалтай болохыг үндэслэн түүврийн дисперс болон стандарт хазайлтын 99%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Шинээр туршиж буй эм эрсдэл өндөртэй тодорхой бүлгийн хүмүүст зүрхний цохилтын хэмийг нэмэгдүүлнэ хэмээн үзэж тур- шилт хийжээ. Энэ бүлгийн 20 өвчтөнд уг эмийг өгч, зүрхний цохилтын давтамжийн өөрчлөлтийг хэмжсэн үр дүн өгөгдөв. 8  -1  5  10  2  1  2  7  9  3  4  6  4  12  11  2  -1  10  2  8. Өвчтөний зүрхний цохилтын дундаж өөрчлөлтийн 98%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Янз бүрийн янжуур тамхи үйлдвэрлэгчдийн тамхины жин (г) ба никотины агууламжийн (мг) түүвэр өгөгдөв. жин ($x$) 15.8 14.9 9.0 4.5 15.0 17.0 8.6 12.0 4.1 16.0 никотин ($y$) 0.957 0.886 0.852 0.911 0.889 0.919 0.969 1.118 0.946 1.094 (a) Регрессийн шулууны $\bar{y_x}= b_0 + b_1x$ тэгшитгэлийг бич. (b) Регрессийн тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($\alpha= 0.01$). (c) $x = 5$ үед регрессийн функцийн итгэх завсрын хилүүд болон ганцаарчилсан утгын итгэх завсарыг байгуул ($\alpha= 0.1$).

Таамгаар сонгон авсан 10 өвчтөний зүрх суулгуулах үеийн нас ба зүрх суулгуулснаас хойш амьдарсан хугацааны түүвэр өгөгдөв. нас $(x)$ 28 41 46 53 39 36 47 29 48 44 амьдарсан өдөр $(y)$ 7 278 44 48 406 382 1995 176 323 1846 (a) Регрессийн шулууны $\bar{y_x}=b_0 + b_1x$ тэгшитгэлийг бич. (b) Регрессийн тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($\alpha=0.01$). (c) $x= 50$ үед регрессийн функцийн итгэх завсрын хилүүд болон ганцаарчилсан утгын итгэх завсарыг байгуул ($\alpha= 0.1$).

Сагсан бөмбөгийн спортын 7 тамирчныг таамгаар сонгон авч өндөр (дюйм) ба жинг (фунт) хэмжсэн үр дүн өгөгдөв. (1дюйм=2.54см. 1фунт=0.4536кг. тухайлбал: 73дюйм=185.42см. 180фунт=81.648кг.) өндөр $(x)$ 73 83 77 80 85 71 80 жин $(y)$ 180 234 208 237 265 190 220 (a) Регрессийн шулууны $\bar{y_x}=b_0+b_1x$ тэгнштгэлийг бич. (b) Регрессийн тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($\alpha= 0.05$). (c) $x= 65$ үед регрессийн функцийн итгэх завсрын хилүүд болон ганцаарчилсан утгын итгэх завсарыг байгуул ($\alpha= 0.05$).

40-82 насны 10 эмэгтэйг таамгаар сонгон авч зүрхний агшилтын артерийн даралтыг хэмжсэн үр дүн өгөгдөв. нас ($x$) 63 70 74 82 60 44 80 71 71 41 даралт ($y$) 151 149 164 157 144 130 157 160 121 125 (а) Хамгийн бага квадратын аргаар, регрессийн $\bar{y_x}=b_0 +b_1x$ тэгшитгэлийг бич. (b) Регрессийн $b_0$, $b_1$ коэффициентууд нөлөөтэй эсэхийг тогтоож, нөлөөтэй коэффициентуудын нтгэх завсрыг байгуул ($\alpha= 0.05$). (c) Регрессийн тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($\alpha= 0.05$).

Таамгаар сонгон авсан 9 өрхийн орлого болон хэрэглээний зард- лын мян.доллар) түүвэр өгөгдөв. орлого ($x$) 25 22 19 36 40 47 28 52 60 зардал ($y$) 21 20 17 28 34 41 25 45 51 (a) Хамгийн бага квадратын аргаар, регрессийн $\bar{y_x}=b_0+b_1x$ тэгшитгэлийг бич. (b) Регрессийн $b_0$, $b_1$ коэффициентууд нөлөөтэй эсэхийг тогтоож, нөлөөтэй коэффициентуудын итгэх завсрыг байгуул ($\alpha= 0.01$). (c) Регрессийн тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($а =0.01$).

Фермерийн талбайгаа бордсон хэмжээ (фунт/100$фут^2$) болон үр дүнгийн хэмжээ (бушель= 393л) өгөгдөв. бордоо ($x$) 0 4 8 10 15 18 20 25 үр дүн ($y$) 6 7 10 13 17 18 22 23 (a) Хамгийн бага квадратын аргаар, регрессийн $\bar{y_x}=b_0+b_1x$ тэгшитгэлийг бич. (b) Регрессийн $b_0$, $b_1$ коэффициентууд нөлөөтэй эсэхийг тогтоож, нөлөөтэй коэффициентуудын итгэх завсрыг байгуул ($\alpha = 0.1$). (c) Регрессийн тэгпштгэлийн илэрхийлэх чадварыг шалга ($\alpha=0.1$).

Бүтээгдэхүүний хэмжээ—$X$(нэгж) ба түүний өөрийн өртөг—$Y$ (мян.руб) хоорондын корреляцийн хамаарлыг судалж $\bar{y_x}= —0.0004x +4.22$ регрессийн тэгшитгэл гарган авчээ. Хэрэв энэ 2 хэмжигдэхүүний корреляцийн коэффициент $r= -0.8$, бүтээгдэхүүний дундаж хэмжээ $\bar{X}= 3000$ нэгж бол $X$—ийн $Y$ дээрх шугаман регрессийн тэгшитгэлийг бич.

Нефтийн үнэ ($(X)$), нефтийн компаниудып индекс ($(Y)$)-ийн корреляц хамаарлыг судлах явцад дараах баримтууд илэрчээ. $\bar{X}= 16.2$- (мөнгөн нэгж), $\bar{Y}= 4000$(нөхцөлт нэгж), $\sigma_x^2= 4$, $\sigma_y^2= 500$, $K_{xy}=40$. (а) $Ү$—ийн $X$ дээрх болон $X$—ийн $Y$ дээрх шугаман регрессийн тэгшитгэлийг бич. (б) Нефтийн үнэ 16.5 нэгж байхад индексийн дундаж хэмжээг ол.

20 үйлдвэрийн хөрөнгө оруулалт—$X$(сая.руб), бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэл—$Y$(сая.руб) хоорондын корреляци хамаарлыг судлах явцад регрессийн дараах тэгшитгэлүүдийг гарган авчээ. $\bar{y_x}=1,2x+2,\, \bar{x_y}=0,7y+2$. (а) $X,Y$ — хэмжигдэхүүнүүдийн корреляцийн коэффициентийг олж итгэлтэй эсэхийг $\alpha= 0.05$ үед тогтоо. (б) Хөрөнгө оруулалт ба бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийн дундаж утгыг ол.

15.4.-15.7. бодлогуудад бүлэглэсэн түүвэр өгөгдөв. (a) Түүврийн корреляцийн коэффициентийг олж,итгэлтэй эсэхийг тогтоо ($\alpha= 0.05$). (b) Хамгийн бага квадратын аргаар, регрессийн $\bar{y_x}=b_0+b_1x$, $\bar{x_y}=a_0+a_1x$ тэгшитгэлүүдийг бич. (c) Регрессийн $b_0$, $b_1$ коэффициентууд нөлөөтэй эсэхийг тогтоо($\alpha= 0.05$). (d) $b_0$, $b_1$ коэффициентуудын итгэх завсрыг байгуулж, тэгшитгэлийн илэрхийлэх чадварыг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

15.1.-15.3. бодлогуудад $(X,Y)$ хэмжигдэхүүний туршилтын утгууд өгөг дөв. (a) Туршилтын хос өгөгдлүүдийг хавтгайн координатын системд дүр- сэлж. ямар хамаарал байгааг ажигла. (b) Хамгийн бага квадратын аргаар шугаман регрессийн тэгшитгэлүү- дийг бич. (c) Регрессийн шугамын графикийг зурж, турптилтын өгөгдлүүдтэй харьцуулан үз. (d) Регрессийн тэгпштгэлүүдийг апшглан түүврийн корреляцийн коэффициентийг ол. Регрессийн тэгшитгэлээ ашиглан $x=x_0$ үед хамааран хувьсагч $y$-ийн утгыг ол. 15.1. $x_i$ 3 5 6 9 11 $y_i$ 4 5 7 8 8 $x_0=4$ 15.2. $x_i$ 2 4 7 9 10 $y_i$ 8 5 5 4 2 $x_0=6$ 15.3. $x_i$ 3 4 6 7 8 $y_i$ 2 8 9 10 12 $x_0=5$

Итгэх завсар байгуулах. Параметрийн тухай таамаглал шалгах Үл мэдэгдэх параметрийн итгэх завсар байгуулах Статистик таамаглал. Тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах Хэвийн тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах

Хөнгөн үйлдвэрийн 37 байгууллагын өгөгдлөөр $X_1$-автомат шугамд тохируулга хийх сарын дундаж тоо болон $X_2$-утас тасрах сарын дундаж тоо гэсэн хүчин зүйлүүд даавууны чанарын дундаж үзүүлэлт $Y$-д хэрхэн нөлөөлөхийг судалжээ. Судалгаагаар. эдгээр хүчин зүйлийн хос корреляцийн коэффициентуудыг $r_{y1}= 0.105$, $r_{y2}= 0.024$, $r_{12}= 0.996$ гэж тогтоожээ. (a) $r_{y1.2}$ ба $r_{y2.1}$ тухайн корреляцийн коэффициентийг олж. тэдгээрийн итгэлтэй эсэхийг 5%-ийн түвшинд тогтоо. (b) Корреляцийн ерөнхий коэффициент $R_{y.12}$-ийг олж, итгэлтэй эсэхийг шалга. (c) Детерминацийн ерөнхий коэффициент $R_{y.12}^2$-ийг олж, утгыг тайлбарла.

Ижил төрлийн 14 үйлдвэрийн ажлын механикжилтын түвшин—$X$(%) , хөдөлмөрийн бүтээмжийн хэмжээ—$Y$(тонн/цаг) өгөгдөв. $x_i$ 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 $y_i$ 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48 Түүврийн корреляцийн коэффициентийг ол. Корреляцийн коэффициентийн итгэлтэй эсэхийг шалга. 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Тодорхой бүтээгдэхүүний нойтон байх үеийн чийглэг (яу) ба бэлэн болсон үеийн нягтыг (гц) хэыжиж дараах түүвэр үүсгэв. чийглэг-$x_i$ 5 6 7 10 12 15 18 20 нягт-$y_i$ 7.4 9.3 10.6 15.4 18.1 22.2 24.1 24.8 Түүврийн корреляцийн коэффициент $r$-ийг ол. $r$ коэффрщиентийн итгэлтэй эсэхийг шалгаж. түүний 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Түргэн уншиж сурах курс төгссөн 10 сурагчийн суралпсан 7 хоног ба сайжрах хурдны (үг/мин) түүвэр өгөгдөв. 7 хоног 2 3 8 11 4 5 9 7 5 7 сайжрах хурд 21 42 102 130 52 57 105 85 62 90 Түүврийн корреляцийн коэффициент $r$-ийг ол. $r$ коэффициентийн итгэлтэй эсэхийг шалгаж, түүний 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

12 хүнийг тааыгаар сонгон авч биеийн температур (Фарангейт градусаар- $t°F$) болон зүрхний цохилтын тоог хэыжсэн үр дүн дараах түүврээр өгөгдөв ($t°C = 5(t°F — 32°)/9$). температур 96.3 97.4 98.9 99.0 99.0 96.8 98.4 98.4 98.8 98.8 99.2 99.3 цохилтын тоо 70 68 80 75 79 75 74 84 73 84 66 68 Энэ хоёр хэмжигдэхүүний хооронд корреляц хаыаарал байна уу? Тооцоог хийхдээ (14.7) томъёог ашигла. Үр дүнгээ $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд баталгаажуул.

10 оюутнаас дифференциал тэгшитгэлийн сэдвээр явцын болон улирлын шалгалт авсан онооны түүвэр өгөгдөв. явцын оноо-$x$ 68 87 75 91 82 77 86 82 75 79 улирлын оноо-$y$ 74 89 80 93 88 79 97 95 89 92 Хоёр шалгалтын онооны корреляци хаыаарлыг еудал. Үр дүнгээ $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд нотол

Нийгмийн ухааны чиглэлээр сургалтанд хамрагдсан 7 оюутнаас сургалтын өмнө ба дараа авсан ур чадварын тестийн оноо өгөгдөв. сургалтын өмнөх оноо 101 89 112 105 90 91 89 сургалтын дараах оноо 113 89 121 99 104 94 99 Түүврийн корреляцийн коэффициентийг олж, түүний итгэлтэй эсэхийг $\alpha= 0.05$ түвшинд нотлон үзүүл.

$(X,Y)$ системийн туршилтын утгууд өгөгдөв. $x_i$ 2 6 9 13 20 $y_i$ 7 18 9 26 23 (a) Түүврийн корреляцийн коэффициентийг ол (b) Хэрэв хос регрессийн тэгшитгэлийн үнэлэлт $\hat{y}= 7.6 + 0.9x$ бол $SST$, $SSR$, $SSE$ нийлбэрүүдийг олж, $SST=SSR+SSE$ болохыг шалга. Үүнд,$SST=\sum_i(y_i-\bar{Y})^2$, $SSR=\sum_i(\hat{y_i}-\bar{Y})^2$, $SSE=\sum_i(y_i-\hat{y_i})^2$(c) $r^2=SSR/SST$ томъёогоор детерминацийн коэфффициентийг олж, (а)-д олсон үр дүнтэй харьцуулан үз. (d) Түүврийн корреляцийн коэффициентийн итгэлтэй эсэхийг шалга ($\alpha= 0.01$)

$(X,Y)$ системийн туршилтын утгууд өгөгдөв. $x_i$ 3 12 6 20 14 $y_i$ 55 40 55 10 15 (a) Түүврийн корреляцийн коэффициентийг ол. (b) Хэрэв хос регрессийн тэгшитгэлийн үнэлэлт $\hat{y}= 68 — Зx$ бол $SST$, $SSR$, $SSE$ нийлбэрүүдийг олж, $SST =SSR +SSE$ болохыг шалга. Үүнд,$SST=\sum_i(y_i-\bar{Y})^2$, $SSR=\sum_i(\hat{y_i}-\bar{Y})^2$, $SSE=\sum_i(y_i-\hat{y_i})^2$ (c) $r^2=SSR/SST$ томъёогоор детерминацийн коэфффициентийг олж, (а)-д олсон үр дүнтэй харьцуулан үз. (d) Түүврийн корреляцийн коэффициентийн итгэлтэй эсэхийг шалга ($\alpha= 0.1$)

$(X,Y)$ системийн туршилтын утгууд өгөгдөв. $x_i$ 1 2 3 4 5 $y_i$ 3 7 5 11 14 (a) Түүврийн корреляцийн коэффициентийг ол. (b) Хэрэв хос регрессийн тэгшитгэлийн үнэлэлт $\hat{y}=0.2+2.6x$ бол $SST$, $SSR$, $SSE$ нийлбэрүүдийг олж, $SST= SSR + SSE$ болохыг шалга. Үүнд,$SST=\sum_i(y_i-\bar{Y})^2$, $SSR=\sum_i(\hat{y_i}-\bar{Y})^2$, $SSE=\sum_i(y_i-\hat{y_i})^2$ (c) $r^2=SSR/SST$ томъёогоор детерминацийн коэфффициентийг олж, (а)-д олсон үр дүнтэй харьцуулан үз. (d) Түүврийн корреляцийн коэффициентийн итгэлтэй эсэхийг шалга ($\alpha= 0.05$).

Дараах $\xi_1, \xi_2, \ldots $ - санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хоорондоо үл хамаарах бөгөөд $a=1$ параметртэй Пуассоны тархалтын хуулинд захирагдана. Тэгвэл $P\{S_{100}+S_{200}+S_{300} > 550 \}$ - магадлалыг ол.

Ижил төрлийн бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийг 4 үйлдвэрт ($B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$), 3 өөр техиологи ($A_1$, $A_2$, $A_3$) дээр туршив. Технологи бүр дээр 3 зэрэгцээ туршилт хийсэн. Хөдөлмөрийн бүтээмжийн хэмжээг дараах хүснэгтэнд өгөв. Технологи (A фактор) Үйлдвэр (B фактор) $A_1$ $A_2$ $A_3$ $B_1$ 50 54 58 62 60 58 65 71 65 $B_2$ 54 46 50 64 59 60 59 54 61 $B_3$ 52 48 50 70 62 60 59 66 64 $B_4$ 60 55 56 58 54 50 71 74 62 Хөдөлмөрийн бүтээмжинд технологи болон үйлдвэр нөлөөлөх эсэхийг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд тогтоо.

Илүүдэл жинтэй 10 эрэгтэй, 10 эмэгтэйг 2 төрлийн цагаан хоо- лонд хамруулж, 10 долоо хоногийн дараа хасагдсан жингийи хэмжээг тэмдэглэн авчээ. Цагаан хоол (В фактор) Хүйс (A фактор) $B_1$ $B_2$ эмэгтэй 7.6 8.8 12.5 16.1 18.6 19.5 17.6 16.8 13.7 21.5 эрэгтэй 22.2 23.4 14.2 32.2 9.4 30.1 24.2 9.5 14.6 11.2 Жин хасахад цагаан хоол болон хүйс нөлөөтэй юу? $\alpha= 0.05$ гэж ав.

Ээрсэн утасны чапарыг түүний тасралтып ачааллаар хэмжинэ. 3 төрлийн суурь машин дээр 2 өөр төрлийн түүхнй эдээр утас ээрнэ. Түүхий эдийн төрөл (B фактор) Машины төрөл (A фактор) $B_1$ $B_2$ $A_1$ 10 50 $A_2$ 20 60 $A_3$ 30 100 Өгөгдсөн түүвэр ашиглаи утасны чанарт суурь машин болон түүхий эд нөлөөлөх эсэхийг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд тогтоо.

Интеграл схем үйлдвэрлэх явцад хавтангийн эсэргүүцэлд имплантын тун (implant dose) болон зуухны байршил хэрхэн нөлөөлөхийг судалж 2 хүчип зүйлт туршилт хийжээ. Зуухны байршил Имплантын тун 1 2 3 1 15.5 14.8 21.3 2 27.2 24.9 26.1 Хэрэв 2 хүчин зүйл хоорондоо ямар нэг харилцан үйлчлэлгүй бол хавтангийн эсэргүүцэлд энэ 2 фактор нөлөөтэй юу? $\alpha= 0.05$ гэж ав.

5 хэсэг газраас авсан улаан буудайн 4 сортын ургацын хэмжээ өгөгдөв (ц/га). Газрын хэсгүүд Буудайн сорт 1 2 3 4 5 1 2.87 2.67 2.16 2.50 2.82 2 2.45 2.85 2.77 2.87 3.25 3 2.32 2.47 2.00 2.40 2.40 4 2.90 2.87 2.25 2.80 2.70 Ургацын хэмжээнд нөлөөлөх улаан буудайн сорт (A хүчин зүйл) ба газрын хэсгийн (В хүчин зүйл) нөлөөлийг $\alpha=0.05$ үед тогтоо.

Автомашины гүйлтэнд 3 өөр төрлийн бензин болон 3 өөр нэмэлт хэрхэн нөлөөлөхийг судлав. Бензин ба нэмэлтийн холимогийг нэг ижил 9 хөдөлгүүрт ижил хэмжээгээр хийж туршихад гарсан гүйлтийн хэмжээ өгөгдөв. Нэмэлт Бензиний төрөл 1 2 3 1 124.1 131.5 127 2 126.4 130.6 128.4 3 127.2 132.7 125.6 Автомашины гүйлтэнд бензин (А хүчин зүйл) болон нэмэлт (В хүчин зүйл) нөлөөлөх эсэхийг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшний хувьд тогтоо.

Үр тарианы ургалтанд эрдэс бордоо хэрхэн нөлөөлөхийг судлах зорилгоор туршилт хийсэн үр дүн өгөгдөв (центнер/га). Бордооны төрөл Туршилтын дугаар Азотын Фосфорын Калийн 1 38 20 21 2 36 24 22 3 35 26 31 4 31 30 34 Үр тарианы ургалтанд бордооны төрөл нөлөөтэй эсэхийг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшний хувьд тогтоо.

Химийн нэгдэлд байгаа магнийн агуулгыг тодорхойлохын тулд химийн 4 төрлийн стандарт аргачлал ашиглана. Аргачлал бүрийг 4 удаа ашигласан үр дүн өгөгдөв. Аргачлал Туршилтын дугаар 1 2 3 4 1 76.42 80.41 74.20 86.20 2 78.62 82.26 72.68 86.04 3 80.40 81.15 78.84 84.36 4 78.20 79.20 80.32 80.68 Аргачлалууд адил үр дүн өгч байна гэж дүгнэж болох уу? $\alpha= 0.01$ гэж ав.

Боловсруулсан махны 3 өөр төрөл тус бүрээс таамгаар 5 хэрчмийг сонгон авч өөхлөгийн хувийг судалжээ (хувь/грамм). Махны төрөл Туршилтын дугаар 1 2 3 1 32 41 36 2 34 32 37 3 31 33 30 4 35 29 28 5 33 35 33 Өөхлөгийн хувь махны төрлөөс хамаарч ялгаатай юу? $\alpha=0.05$ гэж ав.

Электрон калькуляторт зориулсан 3 өөр төрлийн схемийг туршиж, үйлдэлд хариу үзүүлэх хугацааг 5 удаа миллсекундээр хэмжжээ. Хариу үзүүлэх хугацаа Хэлхээний төрөл 1 2 3 4 5 Хэлхээ-1 19 22 20 28 25 Хэлхээ-2 20 21 33 27 40 Хэлхээ-3 16 15 28 26 17 $\alpha= 0.01$ үед “Аль ч хэлхээний хариу үзүүлэх хугацаа ижил” байх тухай таамаглалыг шалга.

Оюутнуудаас санамсаргүй түүвэр авч сургалтын төлөвлөгөөг өөрчлөхийг дэмжиж буй эсэх талаар санал асуулга авсан үр дүн өгөгдөв. Сургалтын төлөвлөгөөг өөрчлөх санал суралцаж буй курсээс хамаарах эсэхийг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

Хүний үсний өнгө оршин суугаа газар нутгаасаа хэрхэи хамаарч буйг А, В, С гэсэн 3 өөр мужийн хэсэг хүмүүс дээр судалжээ. Судалгааны үр дүн ‘‘хүний үсний өнгө оршин суугаа газар нутгаасаа хамаарна” гэсэн таамаглалыг баталж байна уу? $\alpha= 0.05$ гэж ав.

Америкийн Эрүүл Мэндийп Нийгэмлэгийп сэтгүүлд хэвлүүлсэн Жон Хопкинсийн Их Сургуулийп судалгааиы үр дүнгээр бэлэвсэн эмэгтэйчүүд бэлэвсэи эрчүүдээс урт насалдаг гэж гарчээ. Эхнэр нөхрийн хэн нэг нь нас барсан 100 эрэгтэй, 100 эмэгтэйн амьдарсан хугацааны түүвэр өгөгдөв. Энэ түүврийг ашиглан судалгаанд дэвшүүлсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

Үйлдвэр дээр хэрэгжүүлсэн А, В, С арга хэмжээнүүдийн дүнд хөдөлмөрийн бүтээмжинд өөрчлөлт орсон эсэх талаар үйлдвэрийн ажилчдаас дараах судалгаа авчээ. Эдгээр арга хэмжээиүүд хөдөлмөрийн бүтээмжинд нөлөөлөөгүй гэж үзэж болох уу? $\alpha= 0,01$ гэж ав.

Гэр бүлтэй 200 эрчүүдээс хэдэн хүүхэдтэй болон боловсролын түвшний талаар судалгаа авчээ. Өрхийн ам бүлийн тоо эцгийнх нь боловсролоос хамаарах эсэхийг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

Статистикийн хичээлийн чанарыг үнэлэхэд дараах үр дүн илрэв. Үнэлгээ (үсгээр) A B C D E Үнэлгээний тоо 14 18 32 20 16 “Хичээлийн чанарын үнэлгээ Жигд тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

Зоосыг сүлдээрээ буутал хаяна. $X$—зоос хаясан тоо. Туршилтыг 256 удаа давтахад дараах үр дүн илрэв. $X$—зоос хаясан тоо 1 2 3 4 5 6 7 8 Илэрсэн давтамж 136 60 34 12 9 1 3 1 "$X$ Геометр тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

5 улаан, 3 хар шарик бүхий хайрцгаас таамгаар 3 шарик таамгаар авч улаан шарикны тоог тэмдэглэн авч буцааж хийх туришлтыг 112 удаа давтав: Улаан шарикны тоо 0 1 2 3 Илэрсэн давтамж 1 31 55 25 Улаан шарикны тоо Cell 0 Cell 1 Cell 2 Cell 3 Илэрсэн давтамж 1 31 55 25 “Түүвэр дэх улаан шарикпы тоо Гипергеометр тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

100 бай тус бүрийг 10 удаа буудах туршилт хийхэд оносон тоо ба түүний давтамжийг хүснэгтээр өгөв. оносон оноо 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $n_i$ 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0 Байг онох тоо Бином тархалттай байх тухай таамаглалыг 5%-ийн итгэх түвшний хувьд шалга. Буудах бүрд онох магадлал ижил гэж үзнэ.

24 лонхны багтаамжтай хайрцгуудаас таамгаар сонгон авч дүү- рэн эсэхийг шалгав. 75 хайрцаг шалгахад дараах үр дүн илрэв. Дундуур лонхны тоо 0 1 2 3 Тохиолдлын давтамж 39 23 12 1 Дүүртэл гүйцээж хийсэн “дундуур лонхны тоо Бином тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

Бүтэп хөзрөөс таамгаар 3 хөзөр буцаалттайгаар авах турпшлтыг 64 удаа хийв. $X$ нь авсан хөзөр дэх ноён хөзрийн тоо бол $X$ Бином тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.01$ итгэх түвшинд шалга. $X$-ноён хөзрийн тоо 0 1 2 3 Тохиолдлын тоо 21 31 12 0

Тодорхой хотод гарах авто ослын тоо Пуассоны тархалттай гэсэн таамаглал дэвшүүлжээ. Өнгөрсөн оны 80 өдрийн ослын тоо дараах түүврээр өгөгдөв. Ослын тоо 0 1 2 3 4 Өдрийн тоо 34 25 11 7 3 Энэ өгөгдөл дээрх таамаглалтай нийцэх үү? $\alpha= 0.05$ гэж ав.

200 элементийн эвдрэлгүй ажиллах хугацаа цагаар өгөгдөв. $t$ 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 тоо 133 45 15 4 2 1 Элемент эвдрэлгүй ажиллах хугацаа Пуассоны тархалттай байх тухай таамаглалыг $\alpha= 0, 05$ итгэх түвшний хувьд а) $\chi^2$ ншнжүүрээр, б) Колмогоровын шинжүүрээр тус тус шалга.

Москва хотын нэгэн дүүргийн ус дамжуулах шугамын сүлжээнд гарсан гэмтлийн тоог 100 өдөр судлахад дараах баримт илэрчээ. гэмтлийн тоо 0 1 2 3 4 5 давтамж 8 28 31 18 9 6 “Сүлжээнд гарсан гэмтлийн тоо Пуассоны тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0, 05$ итгэх түвшний хувьд $\chi^2$ шинжүүрээр шалга.

Телефон утасны коммутаторт ирэх дуудлагын тооны санамсаргүй түүвэр өгөгдөв. Ирэх дуудлагын тоо 0 1 2 3 4 5 6 Илэрсэн давтамж 15 31 20 15 13 4 2 “Коммутаторт ирэх дуудлагын тоо Пуассоны тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

Долоо хоногийн хүнсний эрэлт дараах түүврээр өгөгдөв. 18 20 22 27 22 25 22 27 25 24 26 23 20 24 26 27 25 19 21 25 26 25 31 29 25 25 28 26 28 24 “7 хоногийн хүнсний эрэлт хэвийн тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.1$ итгэх түвпшнд шалга.

Дараах түүвэр хэвийн тархалттай эх олонлогоос авагдсан эсэх тухай таамаглалыг $\alpha = 0.05$ итгэх түвшинд шалга. 17 23 22 24 19 23 18 22 20 13 11 21 18 20 21 21 18 15 24 23 23 43 29 27 26 30 28 33 23 29

Коллежийн оюутнуудын шалгалтын дүнгийн үнэлгээний санамсаргүй түүвэр өгөгдөв. 55 85 72 99 48 71 88 70 59 98 80 74 93 85 74 72 95 79 51 85 82 90 71 83 60 95 77 84 73 63 76 81 78 65 75 87 86 70 80 64 “Дүнгийн үнэлгээ хэвийн тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

Агаар дахь нүүрс хүчлийн хийн хэмжээг хэмжиж дараах түүвэр үүсгэв. 7.28 6.98 8.50 6.33 5.56 7.34 3.18 5.56 4.03 4.69 5.82 6.45 7.04 5.91 6.54 “Агаар дахь нүүрс хүчлийн хий хэмжээ хэвийн тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.1$ итгэх түвшинд шалга.

Эмнэлгийн төхөөрөмжийн ашиглах хугацааны түүвэр өгөгдөв. 953 1037 1068 1032 988 1014 1063 1000 983 942 945 921 915 921 1090 974 997 993 997 984 “Төхөөрөмжийн ашиглах хугацаа хэвийн тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.01$ итгэх түвшинд шалга.

Машины тоормосны системд ашигладаг метал саваануудаас таамгаар 15-ыг сонгон авч диаметрийг (мм) хэмжив. 8.24 8.25 8.20 8.23 8.24 8.21 8.26 8.26 8.20 8.25 8.23 8.23 8.19 8.28 8.24. “Савааны диаметр хэвийн тархалттай” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшинд шалга.

Хотын агаарын дундаж температурын тухай 50 өдрийн санамсаргүй түүвэр өгөгдөв. Температурын интервал 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 Өдрийн тоо 4 6 13 23 4 “Хотын агаарын дундаж температур $a= 77$, $\sigma= 6$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай ” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

200 оюутны шалгалтын онооны түүвэр өгөгдөв. Онооны интервал 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Оюутны тоо 12 36 90 44 18 “Оюутны шалгалтып оноо $a = 75$, $\sigma= 8$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай ’’ гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.05$ үед шалга.

Авто замын тодорхой хэсгээр өнгөрч буй 150 тээврийн хэрэгслийн хурдыг хэмжиж түүвэр үүсгэв. Авто машины хурд 46-56 56-66 66-76 76-86 86- Авто машины тоо 12 14 78 40 6 “Авто машины хурд $a= 70$, $\sigma= 4$ параметрүүд бүхий хэвийн тархалттай ” гэсэн таамаглалыг $\alpha= 0.01$ үед шалга.

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр авч түүврийн дундаж $\overline{X}$-г олов. Эх олонлогийн математик дунджийн итгэх завсрыг $\alpha$ итгэх түвшний хувьд байгуул. 1. $n=12$, $\overline{X}=40$, $\alpha=0.05$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 3.2^2$             (b) дисперс нь үл мэдэгдэх:  түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 4.5^2$ 2. $n=20$, $\overline{X}=31$, $\alpha=0.001$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 14.2$             (b) дисперс нь үл мэдэгдэх: түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 12.96$ 3. $n=18$, $\overline{X}=25$, $\alpha=0.001$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 21.6$             (b) дисперс нь үл мэдэгдэх: түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 26.01$

Комнани гэрийн хөргөгчний усны шүүлтүүр үйлдвэрлэпэ. Таамгаар 300 шүүлтүүрийн чанарыг шалгахад 15 нь гоожилттой байв. Чанар сайжруулах төсөл хэрэгжүүлсний дараа дахин 300 шүүлтүүрийг шалгахад 7 нь гоожилтгой байв. Тэгвэл хэрэгжүүлсэп төсөл шүүлтүүрийн чанарт нөлөөлсөн эсэх тухай таамаглалыг $\alpha= 0.1$ үед шалга.

Эдийн засгийн дээд сургуулийн уралдаант шалгалтаар банк санхүүгийн мэргэжилд 900 элсэгч, нябо бүртгэлийн мэргэжилд 500 элсэгч шалаглт өгчээ. Тэдгээрийп харгалзан 500, 408 нь амжилттай дүн үзүүлсэн судалгаа гарсан. Энэ 2 мэргэжлээр элсэгчдийн мэдлэгийн түвшинд ялгаа байгаа эсэхийг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшний хувьд дараах тохиолдол бүрд шалга. а)    Өрсөлдөгч таамаглал $H_1$: $p_1\neq p_2$ үед б)    Өрсөлдөгч таамаглал $H_1$: $p_1> p_2$ үед

Микросхемийн үйлдвэрлэлд шинэ технологи нэвтрүүлэх нь стандарт бүтээгдэхүүний тоог нэмэгдүүлэх эсэхийг судлав. Судалгаанд, шинэ ба хуучин технологиор үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүнд чанарын шалгалт хийж дараах баримтыг цуглуулжээ. Шинэ стандарт бүтээгдэхүүний тоог нэмэгдүүлпэ гэдгийг судалгааны үр дүн баталж чадах уу? ($\alpha= 0.01$).

Хагас дамжуулагчийн үйлдвэрлэлд ялтаснаас цахиурыг ангижруулахад химийн хороор идүүлэх процесс байнга ашиглаглана. Энэ процесст химийн хороор идүүлэх хурд чухал үзүүлэлт болох бөгөөд хэвийн тархалтанд захирагдана. Хороор идүүлэх хугацааг 2 өөр аргаар, 10 ялтас тус бүрт туршиж түүвэр үүсгэв. I аргын үр дүн: 9.9 10.0 9.4 10.3 9.3 10.0 9.6 10.3 10.2 10.1 II  аргын үр дүн: 10.2 10.0 10.6 10.2 10.7 10.7 10.4 10.4 10.5 10.3 Хоёр өөр аргын хувьд $H_0$: $\sigma_1^2=\sigma_2^2$  $H_1$: $\sigma_1^2 \neq\sigma_2^2$, $\alpha =0, 02$ таамаглалыг шалга.

2 төрлийн цахилгаан лампны тасралтгүй ажиллах хугацааны түүвэр өгөдөв (цагаар). I төрлийн ламп: 32 84 37 42 78 62 59 74 II төрлийн ламп: 39 111 55 106 90 87 85 2 төрлийн цахилгаан лампны тасралтгүй ажиллах хугацааны дисперсүүд тэнцүү байх тухай таамаглалыг $\alpha= 0.05$ итгэх түвшний хувьд шалга.

Аргентин улсын Кордов хот агаарын бохирдлоо оношлохын тулд бохирдлын судалгааны мужаа замын хөдөлгөөний түвшнээр нь ангилж тогтоожээ. Замын хөдөлгөөний 2 өөр түвшинд бохирд- лыг хэмжиж түүвэр үүсгэв. II түвшний замд: 3.17 3.10 0.73 1.80 3.03 3.06 III түвпший замд: 1.20 3.17 2.87 2.10 2.13 2.60 Энэ 2 өөр мужид агаарын бохирдлын дисперс ижил байгаа эсэх тухай таамаглалыг $\alpha= 0.01$ итгэх түвшний хувьд шалга.

Чулуулгийг “хуурай” болон “чийгтэй” аргаар өрөмдөнө. Хуурай аргад шламыг цэвэрлэх зорилгоор шахсан агаарыг ашигладаг бол чийгтэй аргад ус ашиглана. Арга бүрийг 12 уурхайд хэрэглэхэд гарсан өрөмдөх хугацааны түүврүүд өгөгдөв (1/100 минутаар). Хуурай аргаар: 729 965 904 987 847 918 814 750 804 989 902 939 Чийгтэй аргаар: 607 549 762 665 588 798 704 772 780 599 603 699 Энэ 2 аргын хувьд өрөмдөх дундаж хугацаа тэнцүү эсэх тухай таамаглалыг $\alpha= 0.01$ итгэх түвшиий хувьд шалга.

“Шинэ төрлийн метал хэрчигч ашиглах нь детал боловсруулах хугацааг хэмнэнэ” гэсэн таамаглал дэвшүүлжээ. Детал боловсруулах хугацаа аль ч хэрчигчийн хувьд хэвийн тархалттай бөгөөд шинэ ба хуучин хэрчигч тус бүр дээр 10 удаа хугацааг хэмжихэд (минут) дараах үр дүн илрэв. хуучин хэрчигчээр: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67. шинэ хэрчигчээр: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54. Детал боловсруулах дундаж хугацаа тэнцүү байх тухай таамаглалыг $\alpha= 0,05$ итгэх түвшний хувьд шалга.

Хоёр өөр талбайгаас авсан тус бүр 5 дээжний хөнгөн цагааны ислийн хувийг хэмжиж түүвэр үүсгэв. I хэсгийн хөнгөн цагааны ислийн хувь: 18.3 15.8 18.0 18.0 10.8 II хэсгийн хөнгөн цагааны ислийн хувь: 17.7 18.3 16.7 14.8 19.1 Хоёр дээжин дэх хөнгөн цагааны ислийн дундаж хувь ялгаатай эсэх тухай таамаглалыг 5%-ийн зөвшөөрөх түвшинд шалга.

Сүүлийн 6 сарын байдлаар шүдний эмчийн өдөрт үзсэн өвчтөний тооны дисперс 10 байв. Энэ хугацааны 9 өдрийг таамгаар сонгон авахад үзүүлсэн өвчтөний тоо дараах түүврээр илрэв. 22  25  20  18  15  22  24  19  26 Өдөрт үзүүлэх өвчтөний тоо хэвийн тархалттай бол “өдөрт үзүүлэх өвчтөний тооны дисперс 10’’ гэсэн таамаглалыг 90%-ийн итгэх магадлалын хувьд шалга.

Норвегийн эрчим хүчний реакторт ашигладаг түлшний савааны зарим шинж чанарыг судлах зорилгоор баяжуулах хэмжээг (хувиар) 12 удаа хэмжсэн үр дүн өгөгдөв. 2.94 3.00 2.90 2.75 3.00 2.95 2.90 2.75 2.95 2.82 2.81 3.05 $H_0$: $\sigma^2= 0.03$,  $H_1$: $\sigma^2 \neq 0.03$ таамаглалыг $\alpha= 0, 05$ түвшинд шалга.

АНУ-ын эм үйлдвэрлэлийн ассоциацын 1992 оны сэтгүүлд хүний биеийн $t°$, хүйс, зүрхний цохилтын хэмжээний талаар сонирхолтой тоо баримтууд нийтэлж, хүний биеийн хэвийн дулааны тухай судалжээ. Доор 25 эмэгтэйн биеийн $t°$-ыг хэмжсэн үр дүнг Фарангейтийн градусын утгаар ($t°F$) өгөв ($t°С = 5(t°F — 32°)/9$). 97.8 97.2 97.4 97.6 97.8 97.9 98.0 98.0 98.0 98.1 98.2 98.3 98.3 98.4 98.4 98.4 98.5 98.6 98.6 98.7 98.8 98.8 98.9 98.9 99.0 Хүний биеийн хэвийн дулааны хэмжээ хэвийн тархалттай гэж үзээд $H_0$ : $a= 98.6$ таамаглалыг $H_1$: $a\neq 98.6$ гэсэн өрсөлдөгч таамаглалтай нөхцөлд шалга ($\alpha= 0, 05$).

Диаметр ихтэй хоолойг цайраар бүрэх процесст стандартад заасан ёсоор нэг хоолойн бүрээсний масс дунджаар 200 фунт байх ёстой. Таамгаар 30 хоолой сонгон авч бүрээсний массыг хэмжихэд дараах үр дүн илэрчээ. 216 202 208 208 212 202 193 208 206 206 206 213 204 204 204 218 204 198 207 218 204 212 212 205 203 196 216 200 215 202 Цайран бүрээсний дундаж масс хэвийн тархалттай бол эх олонло гийн дунджийн тухай таамаглал дэвшүүлж, шалга ($\alpha= 0,05$).

Цаг агаарыг хувирган өөрчлөхийн тулд олон арван жилийн турш үүл бий болгох асуудал судлагдсаар иржээ. Мөнгөний нит- ратын тусламжтай үүстэсэн 20 өөр үүлнээс орсон хур тунадас хэдэн акр-фут газрыг хамарсныг доорхи түүвэрт өгчээ. 18.0 30.7 19.8 27.1 22.3 18.8 31.8 23.4 21.2 27.9 31.9 27.1 25.0 24.7 26.9 21.8 29.2 34.8 26.7 31.6 Хур тунадас унасан газрын хэмжээг хэвийн гархалттай гэж үзээд $H_0$: $a= 25$, $H_1$: $a\neq 25$ таамаглалыг $\alpha= 0, 01$ үед шалга.

Тампа хотын тусгай сургуулийн удирдлагууд өөрийн оюутнуудынхаа дундаж IQ-г улсын дундаж болох 100-аас их хэмээн мэдэгдэв. Сүүлийн судалгаагаар. оюутны IQ үзүүлэлт стандарт хазайлт нь 10 байх хэвийн тархалттай гэж тогтоогджээ. Уг сургуулийн 20 оюутныг таамгаар сонгон авч IQ үзүүлэлтийг шалгахад дараах үр дүн илэрсэн бол сургуулийн удирдлагуудын таамаглалыг $\alpha= 0.1$ үед шалга. 95 91 110 93 133 119 113 107 110 89 113 100 100 124 116 113 110 106 115 113

Үл хамаарах туршилтыг $n$ удаа хийхэд $A$ үзэгдэл $m$ удаа явагдсан бол түүний илрэх $p$ магадлалын тухай таамаглал шалгаж, шийдвэр гарга.

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр зохиож, түүврийн дисперс $\hat{S}^2$-ыг олсон гэе. Өгөгдсөн таамаглалыг шалгаж, шийдвэр гарга.

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр авч түүврийн дундаж $\bar{X}$-г олсон гэе. Дараах тохиолдлуудад өгөгдсөн таамаглалыг шалгаж, шийдвэр гарга.

Статистикийн үндэсний төвөөс, коллежийн оюутны 47% нь сургалтын төлбөр болон амжиргаандаа зориулж хөдөлмөр эрхэлдэг болохыг мэдээлэв. Энэ хувийг гаргахад коллежийн 450 оюутныг судалгаанд хамруулсан бол хөдөлмөр эрхэлдэг оюутны дундаж хувийн итгэх завсрыг $\gamma= 0.9$ үед байгуул.

565 үг бүхий хэвлэлийн текстэнд үйл үг 75 удаа тааралдсан. Тэгвэл хэвлэлийн ямар ч текстэнд үйл үг тааралдах магадлалын 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Зураг авах явцад гологдолтой зургууд илэрчээ. Санамсаргүй сонгогдсон 300 зургаас 18 гологдол илрэв. Гологдолтой зургийн хувийн итгэх завсрыг $\gamma= 0.95$ үед байгуул.

Нэг өдөр автомашин түрээслэх өртгийн хэмжээг дараах 8 хотоор үзүүлэв ($). Автомашнн түрээслэх өртөг хэвийн тархалттай бол эх олонлогийн $\sigma$ параметрийн 99%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Системчилсэн алдаа үл гаргах багажаар конденсаторын багтаамжийг 10 удаа хэмжихэд (пк.ф) жинхэнэ хэмжээнээсээ хазайх ха- зайлт дараах байдлаар илрэв. 5.4,  -13.0,  -11,  7.2,  -15.6,  29.2,  1.4,  -0.3,  6.6,  -9.9 Хэмжилтийн алдааг хэвийн тархалттай гэж үзээд стандарт хазайлтын 90%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Санхүүгийн фирмээр үйлчлүүлдэг 25 үйлчлүүлэгчийн орлогып түүвэр өгөгдөв (бүдүүвчилсэн хувиар). 13  11  2  8  6  -4  15  13  6  11  11  3  12  20  3  16  16  15  8  20  15  4  12  2  -9 Үйлчлүүлэгчдийн орлого хэвийн тархалттай бол түүврийн дисперс болон стандарт хазайлтын 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Их сургуулийн 18 оюутнаас авсан тестийн үр дүн өгөгдөв. 130 122 119 142 136 127 120 152 141 132 127 118 150 141 133 137 129 142 Эдгээр оюутан суралццаг их сургуулийн оюутнуудын дундаж үзүүлэлтийн 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Эмийн туршилтанд зориулж. 35 лабораторид хархыг ус өгөлгүй 11 цаг байлгасны дараа 1 цаг устай орчинд байлгахад тэдний ус уусан хэмжээ дараах түүврээр өгөгдөв (мл цаг). 10.6 13.3 15.5 10.7 9.6 12.1 11.8 10.9 9.9 13.2 9.3 11.7 14.1 13.0 12.3 11.0 13.1 11.0 12.5 13.9 9.9 14.8 15.1 12.8 14.0 7.1 14.1 12.7 9.6 12.5 9.0 12.7 13.6 12.5 12.6 Хархны 1 цагт уух усны дундаж хэмжээний 99%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Химич Карл Фишерийн боловсруулсан аргаар метанолып уусмал дахь усны хувийг хэмжиж дараах ур дүнг илрүүлэв. 0.50  0.55  0.53  0.56  0.54  0.57  0.52  0.60  0.55  0.58 Метанолийн уусмал дахь усны дундаж хувийн 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Тодорхой маркийн автомашин 62миль/цаг хурдтай үедээ тормозлоход ямар зайнд зогсож чадахыг 10 машин дээр туршсан үр лүн өгөгдөв (фут-ээр). 146.9  148.4  149.4  148.6  150.3  147.5  147.5  149.3  148.4  145.5 Автомашин зогсож чадах дундаж зайн 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул.

Үл хамаарах туршилтыг $n$ удаа хийхэд $A$ үзэгдэл $m$ удаа явагдав. $A$ үзэгдлийн магадлал $p$-ийн итгэх завсрыг $\gamma$ магадлалтай байгуул. 1. (а) $n=125$,  $m= 109$,  $\gamma=0.95$ (b) $n= 4$,  $m= 2$,  $\gamma= 0.95$ 2. (а) $n=182$, $m= 154$, $\gamma=0.99$ (b) $n= 3$,  $m=2$, $\gamma= 0.95$ 3. (а) $n=202$,  $m= 185$, $\gamma=0.9$ (b) $n= 4$,  $m= 1$, $\gamma= 0.95$

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр авч түүврийн өгөгдлөөр $\bar{X}$, $\hat{S}^2$ утгуудыг олсон бол а параметрийн 95%-ийн итгэх завсрыг байгуул. (a) $n = 16,\, \bar{X} = 9.6,\, \hat{S}=6.1$.      (b) $n= 25,\, \bar{X} = 4.9,\, \hat{S} = 2.6$. (c) $n = 11,\, \bar{X} = 22.5,\, \hat{S}=1.8$.     (d) $n= 27,\, \bar{X} = 18.2,\, \hat{S} = 4.6$.

10а. Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд. 10б. Цэгэн үнэлэлт байгуулах.   Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд,   Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлт,   Цэгэн үнэлэтийг байгуулах ХИҮХБ арга,    Лекцийн толилуулгийг үзэх ,

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул. (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл. (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 3 5 4 5 6 4 7 1 9 3 8 2 6 5 4 6 7 9 5 6 8 4 7 3 2 6 4 7 7 5 6 8 5 7 5 5 6 5 8 9

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 4 0 5 2 4 6 3 4 2 4 4 7 5 6 4 7 6 3 5 8 2 5 3 1 4 6 4 3 5 1 6 3 5 7 4 0 3 8 5 2

(a) Интервалын вариацын цуваа байгуул. (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, гистограмаар дүрсэл. (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 24 19 20 16 19 20 18 24 22 21 24 18 17 23 26 22 13 23 25 19 18 22 15 24 21 16 19 21 14 20 16 22 18 16 17 12 19 12 14 20 Интервалын эхлэл: 11. интервалын алхам: 2.

(a) Интервалын вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, гистограмаар дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 16 32 20 29 35 22 31 19 24 32 23 19 29 38 23 29 17 28 33 25 18 21 15 26 30 36 21 20 27 22 25 34 24 31 26 27 28 17 24 25 Интервалын эхлэл: 15. интервалын алхам: 3.

Дискрет вариацын цувааны тоон үзүүлэлтүүд—$\overline{X},\,  S^{2}, S,\, \overline{Mo},\, \overline{m}_e$- г тус тус ол. a). $x_i$ 32 34 36 38 40 42 44 46 $\Sigma$ $n_i$ 1 2 4 6 5 3 2 1 24 b). $x_i$ 21 22 23 24 25 26 27 28 $\Sigma$ $n_i$ 3 4 5 8 7 6 2 1 36 c). $x_i$ 10 12 14 16 18 20 22 24 $\Sigma$ $n_i$ 1 3 5 8 9 7 5 2 40