Бие даалт 16.
Өмнөх 15 -р бодлогын үр дүнг ашиглан $A, B$ түүврүүдийг хэвийн тархалттай эх олонлогоос авсан мэтээр үзэж, эх олонлогийн $MX,$ $DX$, $\sigma \!X$ параметрүүдийн итгэх завсрыг $\alpha = 0.05$ итгэх түвшинтэйгээр түүвэр бүрийн хувьд байгуул.
(а) $А\sim N(a_x,\sigma_x^2)$ бол $a$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын зүүн хил $a_1$-ийг ол.
(b) $B\sim N(a_y,\sigma_y^2)$ бол $\sigma_y$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын баруун хил $\sigma_2$ -ийг ол.
(a) Өмнөх бодлогын өгөгдөл ёсоор $A$ түүврийн хувьд, $n=79$, $\overline{X}=2.8354$, $\overline{S}^2=2.3653$ байсан тул түүврийн засварласан дисперсийг бодож олбол, $$\hat{S}^2=n/(n-1) \cdot \overline{S}^2=79/78 \cdot 2.3653=2.3956$$ болно. Эх олонлогийн дисперс үл мэдэгдэх тохиолдолд $a$ -г үнэлэх (11.5) томьёоны зүүн гар талыг хэрэглэж,
(а) $А\sim N(a_x,\sigma_x^2)$ бол $a$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын зүүн хил $a_1$-ийг ол.
(b) $B\sim N(a_y,\sigma_y^2)$ бол $\sigma_y$ -параметрийн $\alpha=0.05$ түвшний итгэх завсрын баруун хил $\sigma_2$ -ийг ол.
(a) Өмнөх бодлогын өгөгдөл ёсоор $A$ түүврийн хувьд, $n=79$, $\overline{X}=2.8354$, $\overline{S}^2=2.3653$ байсан тул түүврийн засварласан дисперсийг бодож олбол, $$\hat{S}^2=n/(n-1) \cdot \overline{S}^2=79/78 \cdot 2.3653=2.3956$$ болно. Эх олонлогийн дисперс үл мэдэгдэх тохиолдолд $a$ -г үнэлэх (11.5) томьёоны зүүн гар талыг хэрэглэж,
$$\overline{X}-\frac{\hat{S}^2\cdot z}{\sqrt{n}}< a<\overline{X}+\frac{\hat{S}^2\cdot z}{ \sqrt{n}}\qquad (11.5)$$ зүүн хилийг олъё. Үүний тулд $p=S_{n-1}(z) \rightarrow S_{78}(z)=0.95$ буюу $z=1.98$-утгыг хавсралт таблиц 4-өөс олж дахин тооцоолбол, $a_1=2.8354-2.3956 \cdot 1.98/\sqrt{79} \approx 2.3017$ гарна. Энэ блогийн зүүн талд байрлах "Итгэх завсар" олох тооцоологчийг ашиглан хариугаа шалгана уу!
(b) $B$ түүврийн хувьд, $n=200$, $\overline{Y}=71.32$, $\overline{S}^2=14.6176$ байсан тул түүврийн засварласан дисперсийг бодож олбол, $$\hat{S}^2=n/(n-1) \cdot \overline{S}^2=200/199 \cdot 14.6176=14.6910$$ болно. Эх олонлогийн $a$ үл мэдэгдэх тохиолдолд $\sigma^2$ -ийг үнэлэх (11.7) томьёог хэрэглэж, $$\frac{(n-1)\cdot\hat{S}^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)} < \sigma^2 < \frac{(n-1)\cdot\hat{S}^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)}\qquad (11.7)$$ баруун хилийг олъё. Үүний тулд дараах нэмэлт томьёог ашиглая.
\[ \begin{eqnarray*} \chi_{p}^2(m)&=& (u_p + \sqrt{2m-1})^2/2 &,& m >> 30 \qquad (6.22)\\
\chi_{q}^2(m)&=& (-u_p + \sqrt{2m-1})^2/2 &,& m >> 30 \qquad (6.22') \end{eqnarray*} \] Энд $p=2\Phi(u_p)$ байна. Хавсралт хүснэгт №2-оос $p=1-\alpha/2=0.975$ үед $u_p=2.24$ байх тул (6.22) нэмэлт томъёог ашиглаж $\chi_{0.975}^2(199)=(2.24+\sqrt{397})^2/2=245.6405$ харин $q=\alpha/2=0.025$ үед $u_q=-2.24$ байх тул $\chi_{0.025}^2(199)=(-2.24+\sqrt{397})^2/2=156.3771$ болно. Улмаар $\sigma$ -гийн итгэх завсрын зүүн, баруун хилүүд $\sigma_1=\sqrt{199\cdot 14.691/245.6405}=3.4498$, $\sigma_2=\sqrt{199\cdot 14.691/156.3771} =4.3238$ гэж олдоно.
\[ \begin{eqnarray*} \chi_{p}^2(m)&=& (u_p + \sqrt{2m-1})^2/2 &,& m >> 30 \qquad (6.22)\\
\chi_{q}^2(m)&=& (-u_p + \sqrt{2m-1})^2/2 &,& m >> 30 \qquad (6.22') \end{eqnarray*} \] Энд $p=2\Phi(u_p)$ байна. Хавсралт хүснэгт №2-оос $p=1-\alpha/2=0.975$ үед $u_p=2.24$ байх тул (6.22) нэмэлт томъёог ашиглаж $\chi_{0.975}^2(199)=(2.24+\sqrt{397})^2/2=245.6405$ харин $q=\alpha/2=0.025$ үед $u_q=-2.24$ байх тул $\chi_{0.025}^2(199)=(-2.24+\sqrt{397})^2/2=156.3771$ болно. Улмаар $\sigma$ -гийн итгэх завсрын зүүн, баруун хилүүд $\sigma_1=\sqrt{199\cdot 14.691/245.6405}=3.4498$, $\sigma_2=\sqrt{199\cdot 14.691/156.3771} =4.3238$ гэж олдоно.
