Лекц 11

Итгэх завсар байгуулах.
Параметрийн тухай таамаглал шалгах

• Үл мэдэгдэх параметрийн итгэх завсар байгуулах
• Статистик таамаглал. Тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах
• Хэвийн тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах

Үл мэдэгдэх параметрийн итгэх завсар байгуулах.
Тодорхойололт 11.1
Үл мэдэгдэх параметр $a$-гийн утгыг $p=1-\alpha$ магадлалтай хучих  $(\overline{a}_1;\overline{a}_2)$ интервалыг $a$ параметрийн итгэх завсар буюу завсран үнэлэлт гэнэ. ө.х $$ P(|a-\overline{a}| < \varepsilon) = P(\underbrace{\overline{a}-\varepsilon}_{\overline{a}_1} < a < \underbrace{\overline{a}+\varepsilon}_{\overline{a}_2} ) = 1-\alpha \qquad (11.1) $$ 

• $\alpha$ - итгэх түвшин,
• $p=1-\alpha$ - итгэх магадлал
• $\varepsilon$ - нарийвчлал, санамсаргүй алдаа гэнэ.

Хэвийн тархалтын параметрүүдийн итгэх завсар байгуулах.

1. $X\sim N(a,\sigma^2)$, $\sigma^2$ - мэдэгдэх тохиолдолд $a$-гийн итгэх завсар.
   Эх олонлог хэвийн тархалттай ба $\sigma^2$ мэдэгдэж байвал өгөгдсөн итгэх магадлал $p$-ийн хувьд,  $$\overline{X} - \frac{\sigma\cdot t}{\sqrt n} < a < \overline{X} + \frac{\sigma\cdot t}{\sqrt n} \qquad (11.2)$$ томьёогоор байгуулагдана. Үүнд:
   (а) $\overline{X}$ - түүврийн дундаж
   (б) $n$ - түүврийн хэмжээ
   (в) $p=2\Phi(t)$ нөхцлөөс $t$-г олно. (Хавсралт 2.)
   (г) Хэрэв үнэлэлтийн нарийвчлал $\varepsilon$ урьдчилан өгөгдсөн тохиолдолд $\varepsilon=\sigma\cdot t /\sqrt n$ -оос $n \approx (\frac{\sigma t}{\varepsilon})^2$ гэж түүврийн хамгийн бага хэмжээг олно.
2. $X\sim N(a,\sigma^2)$  , $\sigma^2$ - үл мэдэгдэх тохиолдолд $a$-гийн итгэх завсар.
   Эх олонлог хэвийн тархалттай ба $\sigma^2$ үл мэдэгдэх байвал өгөгдсөн итгэх магадлал $p$-ийн хувьд,  $$\overline{X} - \frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt n} < a < \overline{X} + \frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt n} \qquad (11.5)$$ томьёогоор байгуулагдана. Энэ тохиолдолд, $\frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt n}$ хэмжигдэхүүн нь $(n-1)$ чөлөөний зэрэг бүхий Стьюдентийн тархалттай хэмжигдэхүүн юм. Ийм утгыг хавсралт таблиц 4-ийг ашиглан $$S_{n-1}(z)=p \qquad (11.6)$$ нөхцлөөс олно. Энд $\hat{S}$ - түүврийн засварласан дисперс юм.
3. $X\sim N(a,\sigma^2)$  , $a$ - үл мэдэгдэх тохиолдолд $\sigma^2$ -ийн итгэх завсар.
   Өгөгдсөн итгэх түвшин $\alpha$ -гийн хувьд $\sigma^2$ -ын итгэх завсрыг дараах хэлбэртэй байгуулна. $$\frac{(n-1)\hat{S}^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n-1)} < \sigma^2< \frac{(n-1)\hat{S}^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n-1)} \qquad (11.7)$$ Үүнд, $\chi_{\alpha/2}^2(n-1)$ - нь $(n-1)$ чөлөөний зэрэг бүхий хи-квадрат тархалтын $\alpha/2$ түвшний утга юм.
   Энэ тохиолдолд $\hat{S}^2 \sim \frac{\sigma^2}{n-1}\chi^2(n-1)$ тархалттай байна. Энэ утгыг хавсралт таблиц 5-ыг ашиглан олно.
4. $X\sim N(a,\sigma^2)$  , $a$ - мэдэгдэх тохиолдолд $\sigma^2$ -ийн итгэх завсар.
   Эх олонлог хэвийн тархалттай ба математик дундаж мэдэгдэж байвал (11.7) томьёоны $\hat{S}^2$ -ийн оронд $$S_*^2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2 \qquad (11.8)$$ дисперсийг ашиглана. Энэ тохиолдолд $S_*^2 \sim \sigma^2/n \cdot \chi^2(n)$ тархалттай тул итгэх завсар, $$\frac{n\cdot S_*^2}{\chi_{\alpha/2}^2(n)} < \sigma^2< \frac{n\cdot S_*^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2(n)} \qquad (11.9)$$ байна. Энд $\chi_{\alpha/2}^2(n)$, $\chi_{1-\alpha/2}^2(n)$ утгуудыг хавсралт хүснэгт 5-аас олно.

Бернуллын схемд туршилтын тоо хүрэлцээтэй их үед $p$ - параметрийн итгэх завсар байгуулах. 

Туршилтын тоо хүрэлцээтэй их үед ($n>50, \, np^*>5, \, nq^*>5$)   $p^* \sim N(np,\sqrt{pq/n})$ тархалттай байдаг. Энд $p^*$ харьцангуй давтамж юм. Тэгвэл $P(p_1<p<p_2)=1-\alpha$ итгэх магадлалын нөхцлийг хангах хилүүдийг дараах томьёогоор олно. \[ \begin{eqnarray*}p_1&=
& \frac{1}{1+t^2/n}\Big(p^*+\frac{t^2}{2n}-t\cdot \sqrt{\frac{p^*q^*}{n}+\frac{t^2}{4n^2}}\Big)& \qquad (11.10) \\ p_2&=&\frac{1}{1+t^2/n}\Big(p^*+\frac{t^2}{2n}+t\cdot \sqrt{\frac{p^*q^*}{n}+\frac{t^2}{4n^2}}\Big)& \end{eqnarray*}\]  Энд $2\Phi(t)=1-\alpha$ нөхцлөөс $t$-г олно. Хэрэв $n>>100$ их тоо бол дээрх томьёог хялбаршуулан дaраах байдлаар хэрэглэнэ. $$p^*-t\sqrt{p^*q^*/n} < p < p^*+t\sqrt{p^*q^*/n}\qquad (11.11)$$ 

Статистик таамаглал. Тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах

• параметрийн тухай таамаглал
• тархалтын хуулийн тухай таамаглал

Тархалтын параметрийн тухай таамаглал.
Анхны таамаглал буюу тэг таамаглал $H_0: \, a=a_0$ гэж тэмдэглэнэ.
Анхны таамглалтай харшлах буюу өрсөлдөгч таамаглал $H_1: \, a \ne a_0$, $H_1: \, a > a_0$,$H_1: \, a < a_0$, хэлбэртэй байдаг.
$$\begin{array}{l|l}
\hbox{ Тэг таамаглал } & \hbox{ Өрсөлдөгч таамаглал } \\
& H_1: \qquad a\ne a_0 \\
H_0:\quad  a=a_0,  & H_1:\qquad  a< a_0 \\
& H_1: \qquad a>a_0 \\
\end{array}$$
Алдааны  төрлүүд,
\[ \begin{array}{ll}
\hbox{I. Зөв таамаглалыг хэрэгсэхгүй болгох }&, \qquad & H_0^+ \hbox{ байхад } H_1^+ \hbox{ гэж үзэх}\\
\hbox{II. Буруу таамаглалыг зөвшөөрөх } &, \qquad & H_1^+ \hbox{ байхад } H_0^+ \hbox{ гэж үзэх}\\
\end{array} \]

• $P_1=P(H_1^+/H_0^+)=\alpha $ -ийг I төрлийн алдаа гарах магадлал буюу таамаглал шалгах итгэх түвшин гэнэ. $(1-\alpha)$ -ийг статистик найдвар гэнэ.
• $P_2=P(H_0^+/H_1^+)=\beta $ -ийг II төрлийн алдаа гарах магадлал буюу буруу таамаглалыг хүлээн зөвшөөрөх магадлал гэнэ. $(1-\beta)$ -ийг шинжүүрийн чадал гэнэ.
• Дэвшүүлсэн таамаглалыг шалгахын тулд $T \in R$ - статистикийг бодож ашиглана.
• $D=\{T\in R|H_0^+\}$ -г утгын муж гэнэ. ө.х тэг таамаглал үнэн байх $T$ статистикийн утгын мужийн олонлог юм.
• $K=\{T\in R|H_1^+\}$ -г критик муж гэнэ. ө.х өрсөлдөгч таамглал үнэн байх $T$ статистикийн критик утгын мужийн олонлог юм.
• $V=D \cup K$ ба $D \cap K= \emptyset$ байна.
• $D, \, K$ мужийн хил нь $H_1$ өрсөлдөгч таамаглалын хэлбэр болон шинжүүрийн тархалтаас хамаардаг.
• Тэгш хэмт шинжүрийн критик мужийн хилийг олохдоо дараах 3 аргаар олно.

Зураг 11.1	$$H_0: a=a_0, \quad H_1: \quad a\ne a_0$$ $$K: |t|>t_{\alpha/2} \quad (11.13)$$
Зураг 11.2	$$H_0: a=a_0, \quad H_1: \quad a < a_0$$ $$K: t<-t_{\alpha} \quad (11.14)$$
Зураг 11.3	$$H_0: a=a_0, \quad H_1: \quad a> a_0$$ $$K: t>t_{\alpha} \quad (11.15)$$
Зураг 11.4	Тархалт нь тэгш хэмт биш боловч эерэг нягттай ба $$H_0: a=a_0, \qquad H_1: \quad a\ne a_0$$ $$K: 0 < t < \varepsilon_1, \quad \varepsilon_2 < t \qquad (11.16)$$

Хэвийн тархалтын параметрийн тухай таамаглал шалгах

1. Дисперс нь мэдэгдэж байх үед математик дунджийн тухай таамаглал шалгах.
   $X\sim N(a,\sigma^2)$ бөгөөд $\sigma^2$ мэдэгдэж байг. Тэгвэл I  төрлийн $H_0:a=a_0$, $H_1$ таамаглалуудыг шалгая. Энэ тохиолдолд түүврийн дундаж статистикийн үүргийг гүйцэтгэнэ. $$U=\frac{\overline{X}-a_0}{\sigma/\sqrt n} \qquad (11.17)$$ гэж авна. Таамаглал шалгах дараалал болон шийдвэр гаргах процесс төстэй учраас нэгтгэж хүснэгтээр харуулвал:
   

   Өрсөлдөгч таамаглалын хэлбэр	Критик мужийн хилийг олох нөхцөл	Тэг таамаглалыг зөвшөөрөх нөхцөл
   $H_1: a\ne a_0$	$2\Phi(u_{\alpha/2})=1-\alpha$	$|\overline{U}| < u_{\alpha/2}$
   $H_1: a < a_0$	$2\Phi(-u_{\alpha})=1-2\alpha$	$\overline{U} > -u_{\alpha}$
   $H_1: a > a_0$	$2\Phi(u_{\alpha})=1-2\alpha$	$\overline{U} < u_{\alpha}$

   Энд $\overline{U}$ - шинжүүрийн туршилтын утга болно.
   
2. Дисперс нь үл мэдэгдэх үед математик дунджийн тухай таамаглал шалгах.
   $X\sim N(a,\sigma^2)$ бөгөөд $\sigma^2$ мэдэгдэхгүй байг. Энэ үед статистик шинжүүрээр, $$t=\frac{\overline{X}-a_0}{\hat{S}/\sqrt n} \qquad (11.18)$$ хэмжигдэхүүнийг ашиглах ба тэг таамаглал үнэн  $(H_0^+)$ үед $(n-1)$ чөлөөний зэрэг бүхий Стьюдентийн тархалттай байна. $t\sim S_{n-1}(t)$ гэсэн үг.
   

   Өрсөлдөгч таамаглалын хэлбэр	Критик мужийн хилийг олох нөхцөл	Тэг таамаглалыг зөвшөөрөх нөхцөл
   $H_1: a\ne a_0$	$S_{n-1}(t_{\alpha/2})=1-\alpha$	$|\overline{t}| < t_{\alpha/2}$
   $H_1: a < a_0$	$S_{n-1}(-t_{\alpha})=1-2\alpha$	$\overline{t} > -t_{\alpha}$
   $H_1: a > a_0$	$S_{n-1}(t_{\alpha})=1-2\alpha$	$\overline{t} < t_{\alpha}$

   Энд $\overline{t}$ - шинжүүрийн туршилтын утга болно.
3. Математик дундаж нь үл мэдэгдэх үед дисперсийн тухай таамаглал шалгах.
   $X\sim N(a,\sigma^2)$ бөгөөд $a, \, \sigma^2$ параметрүүд мэдэгдэхгүй байг. $\sigma_0^2$ утгыг өөр эх үүсвэрээс олсон байг. Энэ үед статистик шинжүүрээр, $$\chi^2=\frac{(n-1)\hat{S}^2}{\sigma_0^2} \qquad (11.19)$$ хэмжигдэхүүнийг ашиглах ба тэг таамаглал үнэн  $(H_0^+)$ үед $k=n-1$ чөлөөний зэрэг бүхий Хи-квадрат тархалттай байна.
   

   Өрсөлдөгч таамаглалын хэлбэр	$\chi^2$ - ын таблицаас олох утгууд	Тэг таамаглалыг зөвшөөрөх нөхцөл
   $H_1: \sigma^2\ne \sigma_0^2$	$\chi_{\alpha/2;k}^2, \chi_{1-\alpha/2;k}^2$	$\chi_{1-\alpha/2;k}^2 < \overline{\chi^2} < \chi_{\alpha/2;k}^2$
   $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$	$\chi_{1-\alpha;k}^2$	$\chi_{1-\alpha;k}^2< \overline{\chi^2}$
   $H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2$	$\chi_{\alpha;k}^2$	$\overline{\chi^2} < \chi_{\alpha;k}^2$

   Энд $\overline{\chi^2}$ - шинжүүрийн туршилтын утга болно.
4. Математик дундаж нь мэдэгдэх үед дисперсийн тухай таамаглал шалгах.
   Хэрэв эх олонлогийн математик дундаж $a$ мэдэгдэх бол $\hat{S}^2$ дисперсийн оронд $S_*^2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$ дисперсийг авч, $$\chi^2=\frac{(n-1)S_*^2}{\sigma_0^2} \qquad (11.20)$$ статистикийг авах ба тэг таамаглал үнэн $(H_0^+)$ үед $n$ - чөлөөний зэрэг бүхий  $\chi^2$ тархалттай байна. 

   Өрсөлдөгч таамаглалын хэлбэр	$\chi^2$ - ын таблицаас олох утгууд	Тэг таамаглалыг зөвшөөрөх нөхцөл
   $H_1: \sigma^2\ne \sigma_0^2$	$\chi_{\alpha/2;n}^2, \chi_{1-\alpha/2;n}^2$	$\chi_{1-\alpha/2;n}^2 < \overline{\chi^2} < \chi_{\alpha/2;n}^2$
   $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$	$\chi_{1-\alpha;n}^2$	$\chi_{1-\alpha;n}^2< \overline{\chi^2}$
   $H_1:\sigma^2 >\sigma_0^2$	$\chi_{\alpha;n}^2$	$\overline{\chi^2} < \chi_{\alpha;n}^2$

   
   

• Жишээ 11.04 

Шинээр туршиж буй эм эрсдэл өндөр тодорхой бүлгийн хүмүүст зүрхний цохилтын хэмийг нэмэгдүүлнэ гэж үзэж туршилт хийжээ. Энэ бүлгийн 20 өвчтөнд уг эмийг өгч, зүрхний цохилтын давтамжийг өөрчлөлтийг хэмжсэн үр дүн өгөгдөв. 8 -1 5 10 2 1 2 7 9 3 4 6 4 12 11 2 -1 10 2 8. Өвчтөний зүрхний цохилтын дундаж өөрчлөлтийн 98\% -ийн итгэх завсрыг байгуул.
 Бодолт.  $\sigma^2$ - үл мэдэгдэх тохиолдолд $a$-гийн итгэх завсрыг өгөгдсөн итгэх магадлал $\gamma$-ийн хувьд, $$\overline{X} - \frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt n} < a < \overline{X} + \frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt n} \qquad (11.5)$$ томьёогоор байгуулагдана.

$n$	$\overline{X}$	$\overline{X}^2$	$\overline{S}^2$	$\hat{S}^2$	$\hat{S}$
20	5.2000	42.2000	15.1600	15.9579	3.9947

$n-1=19, \, \alpha=1-\gamma=0.02$ тул 4-р хавсралтаас $z=2.54$ гэж олдох ба $$5.2 - \frac{3.9947 \cdot 2.54}{\sqrt{20}} <  a < 5.2 + \frac{3.9947 \cdot 2.54}{\sqrt{20}} $$ буюу $2.9311 < a < 7.4688$ болно.  Googlesheet дээрх тооцоог харна уу!

• Жишээ 11.09

Газрын самарны тос тодорхой зөвшөөрөгдөх түвшний хольц агуулдаг. Тодорхой маркийн 12 лааз тосыг санамсаргүй сонгон авч тестлэхэд илэрсэн хольцын хувь дараах түүврээр өгөдөв. 1.9 2.7 2.1 2.8 2.3 3.6 1.4 1.8 2.1 3.2 2.0 2.3 Хольцын хувийг хэвийн тархалттай болохыг үндэслэн түүврийн дисперс болон стандарт хазайлтын тус бүр 99%-ийн итгэх завсрыг байгуул.
Бодолт.  (а) Өмнөх бодлогын адилаар $a$ параметрийг эхэлж үнэлье!

n	MX	MXX	DX	SS1	S1
12	2.3500	5.8783	0.3558	0.3882	0.6230

$n-1=11$, $\alpha=1-\gamma=0.01$ тул 4-р хавсралтаас $z=3.11$ гэж олдох ба $$2.35-\frac{3.9947\cdot 3.11}{\sqrt{11}} < a <  2.35+\frac{3.9947\cdot 3.11}{\sqrt{11}}$$ буюу $ 1.7658 < a < 2.9342$ болно.
(б) Харин (11.7) томьёогоор $\sigma^2$ параметрийг үнэлье! Итгэх түвшин $\alpha=1-\gamma=0.01$ тул $\chi_{0.005}^2(11)=26.8$ ба $\chi_{0.995}^2(11)=2.6$ байх ба $0.1593<\sigma^2<1.6423$ буюу $ 0.3992< \sigma < 1.2815$ болно.

• Жишээ 11.16

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээст түүвэр авч түүврийн дундаж $\overline{X}$ олдсон гэе. Дараах тохиолдолд өгсөн таамаглалыг  шалгаж , шийдвэр гарга.
Бодолт. 
(а) $H_0: a=18.5, \qquad H_1: a>18.5$ $n=18, \overline{X}=20$, $\alpha=0.05$
1. дисперс мэдэгдэх үед. $\sigma=3.8$
2. дисперс үл мэдэгдэх үед. $\hat{S}=4.3$
(1). Эхлээд $(11.17)$ томьёогоор $U$ статистикийг бодож ольё. $$\overline{U}=\frac{\overline{X}-a_0}{\sigma/\sqrt n}=\frac{20-18.5}{3.8\cdot sqrt{18}}\approx 0.0930$$ болно. Харин онолын утга $$2\Phi(u_{\alpha})=1-2\alpha=0.9\qquad  \rightarrow \qquad u_{0.05}=1.65$$ болох ба тэг таамаглалыг шалгах нөхцлийг бичвэл,  $$\overline{U}<u_{\alpha} \rightarrow 0.093 < 1.65$$ биелж байгаа тул эх олонлогийн математик дундаж 18.5 гэсэн таамаглал өгөгдсөн түүврээр нотлогдлоо.
(2). Дараа нь   $(11.18)$ томьёогоор $t$ статистикийг бодож ольё.
 $$\overline{t}=\frac{\overline{X}-a_0}{\hat{S}/\sqrt n} = \frac{20-18.5}{4.3/\sqrt{18}}\approx 0.0822$$  Харин онолын утга $$ S_{17}(t_{\alpha})=1-2\alpha=0.9 \qquad \rightarrow \qquad t_{0.05}=1.74$$ болох ба $\overline{t}=0.0822 < t_{\alpha}=1.74$ биелж байгаа тул тэг таамаглал нотлогдож байна.

• Жишээ 11.23 

Саяхан шинээр барьсан  хоёр урсгалт замын 957 м хэсэгт түүвэрлэн судалгаа хийж, өрмөөр цооног тавин замын шороон болон асфальтан хучаасны зузааныг хэмжсэн үр дүн өгөгдөв.(метр) 0.6 1.1 0.8 0.6 0.4 0.8 0.8 0.7 0.8 0.5 0.4 0.6  Судалгааны зорилго нь замын зузааны дисперс 0.05 $\hbox{мм}^2$ -ээс хир ялгаатай байгааг тогтооход оршино. Дисперсийн тухай  таамаглалыг 95% -ийн итгэх магадлалын хувьд шалга.

Бодолт.

$n$	$\overline{X}$	$\overline{X^2}$	$S^2$	$\hat{S}^2$	$\hat{S}$
12	0.6750	0.4925	0.0369	0.0402	0.2006

Дэвшүүлж буй өрсөлдөгч таамаглал нь $H_1: \sigma^2\ne 0.05$ болох ба критик мужийн хилүүд таблиц 5-аас $\chi_{1-\alpha/2;11}^2=\chi_{0.975;11}^2=21.9$ ба $\chi_{\alpha/2;11}^2=\chi_{0.025;11}^2=3.82$ болно. Харин $\overline{\chi^2}$ статистик нь (11.19) томьёогоор, $\overline{\chi^2}=8.85$ гарч байна. Тэг таамаглалыг зөвшөөрөх нөхцлийг шалгавал, $3.82<8.85<21.9$ биелж байгаа тул өрсөлдөгч таамаглал няцаагдаж байна.