Бие даалт 19.
$C$ түүврийн утгуудаар хоёр хэмжээст түүврийн корреляцийн таблиц зохио. $r$ -утгыг илгээ.
$C$ түүврийн хэмжээ $n=78$, $x$ -ийн интервалын эхлэл $x_0=53$, алхам $h_x=5$, $y$ -ийн интервалын эхлэл $y_0=2$, алхам $h_y=18$ гэж өгөгдсөн ба интервалан хуваалт болон дундаж цэг, давтамжуудыг олбол дараах хүснэгт гарна. Анхны $C$ түүврийг хэрхэн оруулж, дараах хүснэгтийг гаргасан тооцоог Googlesheet дээрээс хаарна уу.
Тооцоог хийхэд хялбар болгох зорилгоор $X,Y$ тус бүр дээр хамгийн их давтамжтай дундаж цэгүүд $C_1=70.5$, $C_2=65$ -ийг олж, $$U=\frac{X-C_1}{h_x}, \qquad V=\frac{Y-C_2}{h_y}$$ энгийн хувиргалт хийж хүснэгтийг дахин боловсруулвал,
\[ r(X,Y)=r(U,V)=cov(U,V)/(\sigma_u \sigma_v) \] байх тул эхлээд $cov(U,V)=\overline{UV}-\overline{U}\cdot \overline{V}$ -ийг олъё. Үүний тулд,
\[ \begin{eqnarray*}
\overline{U}&=&[-3\cdot 5-2\cdot 10 -1\cdot 20+0\cdot 32+ 1\cdot 11]/78=-44/78\\
\overline{V}&=&[-3\cdot 7-2\cdot 13 -1\cdot 18+0\cdot 31+1\cdot 9]/78=-56/78\\
\overline{U^2}&=&[9\cdot 5+4\cdot 10 +1\cdot 20+0\cdot 32+ 1\cdot 11]/78=116/78\\
\overline{V^2}&=&[9\cdot 7+4\cdot 13 +1\cdot 18+0\cdot 31+1\cdot 9]/78=142/78\\
\overline{UV}&=&[9\cdot 5+6\cdot 2+4\cdot 8+2\cdot 5+1\cdot 15+1 \cdot 9]/78=123/78\\
cov(U,V)&=&\frac{123}{78} - \frac{44\cdot 56}{78^2} =\frac{7130}{78^2} =1.1719\\
\overline{S_u}&=&\sqrt{\frac{116}{78}-\Big(\frac{44}{78}\Big)^2}=\frac{\sqrt{7112}}{78}= 1.0811\\
\overline{S_v}&=&\sqrt{\frac{142}{78}-\Big(\frac{56}{78}\Big)^2}=\frac{\sqrt{7940}}{78}= 1.1423\\
r&=& cov(U,V)/(\overline{S_u}\cdot \overline{S_v})=7130/\sqrt{7112 \cdot 7940} =0.9488
\end{eqnarray*}\] Googlesheet дээрээс харах.
$C$ түүврийн хэмжээ $n=78$, $x$ -ийн интервалын эхлэл $x_0=53$, алхам $h_x=5$, $y$ -ийн интервалын эхлэл $y_0=2$, алхам $h_y=18$ гэж өгөгдсөн ба интервалан хуваалт болон дундаж цэг, давтамжуудыг олбол дараах хүснэгт гарна. Анхны $C$ түүврийг хэрхэн оруулж, дараах хүснэгтийг гаргасан тооцоог Googlesheet дээрээс хаарна уу.
X\Y
| 2 | 20 | 38 | 56 | 74 |
$n_j$
| ||
| 20 | 38 | 56 | 74 | 92 | ||||
| 11 | 29 | 47 | 65 | 83 | ||||
| 53 | 58 | 55.5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| 58 | 63 | 60.5 | 2 | 8 | 0 | 0 | 0 | 10 |
| 63 | 68 | 65.5 | 0 | 5 | 15 | 0 | 0 | 20 |
| 68 | 73 | 70.5 | 0 | 0 | 3 | 29 | 0 | 32 |
| 73 | 78 | 75.5 | 0 | 0 | 0 | 2 | 9 | 11 |
| $n_i$ | 7 | 13 | 18 | 31 | 9 | 78 | ||
U\V
| 2 | 20 | 38 | 56 | 74 |
$n_j$
| ||
| 20 | 38 | 56 | 74 | 92 | ||||
| -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ||||
| 53 | 58 | -3 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 5 |
| 58 | 63 | -2 | 2 | 8 | 0 | 0 | 0 | 10 |
| 63 | 68 | -1 | 0 | 5 | 15 | 0 | 0 | 20 |
| 68 | 73 | 0 | 0 | 0 | 3 | 29 | 0 | 32 |
| 73 | 78 | 1 | 0 | 0 | 0 | 2 | 9 | 11 |
| $n_i$ | 7 | 13 | 18 | 31 | 9 | 78 | ||
\[ \begin{eqnarray*}
\overline{U}&=&[-3\cdot 5-2\cdot 10 -1\cdot 20+0\cdot 32+ 1\cdot 11]/78=-44/78\\
\overline{V}&=&[-3\cdot 7-2\cdot 13 -1\cdot 18+0\cdot 31+1\cdot 9]/78=-56/78\\
\overline{U^2}&=&[9\cdot 5+4\cdot 10 +1\cdot 20+0\cdot 32+ 1\cdot 11]/78=116/78\\
\overline{V^2}&=&[9\cdot 7+4\cdot 13 +1\cdot 18+0\cdot 31+1\cdot 9]/78=142/78\\
\overline{UV}&=&[9\cdot 5+6\cdot 2+4\cdot 8+2\cdot 5+1\cdot 15+1 \cdot 9]/78=123/78\\
cov(U,V)&=&\frac{123}{78} - \frac{44\cdot 56}{78^2} =\frac{7130}{78^2} =1.1719\\
\overline{S_u}&=&\sqrt{\frac{116}{78}-\Big(\frac{44}{78}\Big)^2}=\frac{\sqrt{7112}}{78}= 1.0811\\
\overline{S_v}&=&\sqrt{\frac{142}{78}-\Big(\frac{56}{78}\Big)^2}=\frac{\sqrt{7940}}{78}= 1.1423\\
r&=& cov(U,V)/(\overline{S_u}\cdot \overline{S_v})=7130/\sqrt{7112 \cdot 7940} =0.9488
\end{eqnarray*}\] Googlesheet дээрээс харах.
