11.01

Хэвийн тархалттай эх олонлогоос $n$ хэмжээт түүвэр авч түүврийн дундаж $\overline{X}$-г олов. Эх олонлогийн математик дунджийн итгэх завсрыг $\alpha$ итгэх түвшний хувьд байгуул.
1. $n=12$, $\overline{X}=40$, $\alpha=0.05$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 3.2^2$
            (b) дисперс нь үл мэдэгдэх:  түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 4.5^2$
2. $n=20$, $\overline{X}=31$, $\alpha=0.001$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 14.2$
            (b) дисперс нь үл мэдэгдэх: түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 12.96$
3. $n=18$, $\overline{X}=25$, $\alpha=0.001$        (a) дисперс нь мэдэгдэх: $\sigma^2= 21.6$
            (b) дисперс нь үл мэдэгдэх: түүврийн засварласан дисперс -> $\hat{S}^2= 26.01$

1. (a) Дисперс $\sigma^2=10.24$ мэдэгдэж байгаа тул эх олонлогийн математик дунджийн $\alpha$ түвшний итгэх завсрыг дараах байдлаар олно. $$\overline{X} -\frac{\sigma \cdot t}{\sqrt{n}} < a < \overline{X} +\frac{\sigma \cdot t}{\sqrt{n}}\qquad (11.2)$$ ба квантиль $t$-г олохдоо,  $$p=1-\alpha=2\Phi(t) \rightarrow \qquad  0.475=\Phi(t) \rightarrow \qquad  t=1.96.$$ Эндээс итгэх завсрыг дахин бичвэл, $$40-\frac{3.2\cdot 1.96}{\sqrt{12}} < a < 40+\frac{3.2\cdot 1.96}{\sqrt{12}} \rightarrow \qquad 40 - 1.8105 < a < 40 + 1.8105$$ буюу $\alpha$ түвшний итгэх завсар, $$38.1894 < a < 41.8105$$ болно.
   (b) Дисперс үл мэдэгдэх тохиолдолд эх олонлогийн математик дунджийн $\alpha$ түвшний итгэх завсрыг олохдоо, $$\overline{X} -\frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt{n}} < a < \overline{X} +\frac{\hat{S}\cdot z}{\sqrt{n}}\qquad  (11.5)$$ томъёогоор олно. $S_{n-1}(z)=p=1-\alpha$ буюу $n-1$ чөлөөний зэрэг бүхий Стьютентийн тархалтын хавсралтаас IV-өөс $z(n-1;\alpha)=z(11;0.05)=2.20$-г олно. $$40-\frac{4.5 \cdot 2.20}{\sqrt{12}} < a < 40+\frac{4.5 \cdot 2.20}{\sqrt{12}}\rightarrow \qquad  40 - 2.8578< a < 40 + 2.8578 $$ буюу $\alpha$ түвшний итгэх завсар,  $$37.1422 < a <  42.8578$$ болно.
2. (a) үргэлжилнэ ...