Лекц 10б.
10а. Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд.
10б. Цэгэн үнэлэлт байгуулах.
- Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд,
- Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлт,
- Цэгэн үнэлэтийг байгуулах ХИҮХБ арга,
- Лекцийн толилуулгийг үзэх,
10.1 Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд.
- Түүврийн дундаж, жигнэсэн дундаж
- Дунджийн чанар
Вариацын үзүүлэлт
- түүврийн дисперс
- түүврийн стандарт хазайлт
- вариацын коэффициент
- дисперсийн чанар
Түүврийн дундаж ба дисперсийн тооцоог хялбарчлах.
Түүврийн вариант ба давтамжууд их тоогоор илэрхийлэгдэх тохиолдолд дараах хувиргасан томъёог ашиглан тооцоог хялбарчилж болно. $$\overline{X}=\frac 1n\sum_{i=1}^{k}\Big( \frac{x_i-C}{m} \Big)n_i\cdot m +C \qquad (10.11)$$ $$S^2=\frac 1n\sum_{i=1}^{k}\Big( \frac{x_i-C}{m} \Big)^2n_i\cdot m^2 -(\overline{X}-C)^2 \qquad (10.12)$$ Үүнд, $m$- таблицын алхам, $C$- хамгийн их давтамжтай вариант. Дээрх тмоъёо нь түүврийн дундаж болон дисперсийн чанаруудаас мөрдөн гарах ба харьцангуй бага тоонууд дээр тооцоо хийх боломжийг олгодог.
Жишээ-10.3а: 1000 оюутны өндрийн тухай мэдээлэл дараах түүврээр өгөдөв. Түүврийн дундаж ба дисперсийг хялбар тооцоо хийж ол.
Бидний жишээний хувьд $m=4$, $C=168$ ба $u_i=(x_i-C)/m$ хувьд түүний анхны моментуудаар дараах туслах чанарын хүснэгтийг зохиоё!
Түүврийн вариант ба давтамжууд их тоогоор илэрхийлэгдэх тохиолдолд дараах хувиргасан томъёог ашиглан тооцоог хялбарчилж болно. $$\overline{X}=\frac 1n\sum_{i=1}^{k}\Big( \frac{x_i-C}{m} \Big)n_i\cdot m +C \qquad (10.11)$$ $$S^2=\frac 1n\sum_{i=1}^{k}\Big( \frac{x_i-C}{m} \Big)^2n_i\cdot m^2 -(\overline{X}-C)^2 \qquad (10.12)$$ Үүнд, $m$- таблицын алхам, $C$- хамгийн их давтамжтай вариант. Дээрх тмоъёо нь түүврийн дундаж болон дисперсийн чанаруудаас мөрдөн гарах ба харьцангуй бага тоонууд дээр тооцоо хийх боломжийг олгодог.
Жишээ-10.3а: 1000 оюутны өндрийн тухай мэдээлэл дараах түүврээр өгөдөв. Түүврийн дундаж ба дисперсийг хялбар тооцоо хийж ол.
| өндөр(см) | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 | 182-186 |
| оюутны тоо | 8 | 14 | 20 | 32 | 12 | 8 | 4 | 2 |
| инт. | инт. дундаж $x_i$ | $n_i$ | $u_i$ | $u_i\cdot n_i$ | $u_i^2$ | $u_i^2\cdot n_i$ | $u_i^3$ | $u_i^3\cdot n_i$ | $u_i^4$ | $u_i^4\cdot n_i$ |
| [154-158] | 156 | 8 | -3 | -24 | 9 | 72 | -27 | -216 | 81 | 648 |
| [158-162] | 160 | 14 | -2 | -28 | 4 | 56 | -8 | -112 | 16 | 224 |
| [162-166] | 164 | 20 | -1 | -20 | 1 | 20 | -1 | -20 | 1 | 20 |
| [166-170] | 168 | 32 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| [170-074] | 172 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 | 1 | 12 |
| [174-178] | 176 | 8 | 2 | 16 | 4 | 32 | 8 | 64 | 16 | 128 |
| [178-182] | 180 | 4 | 3 | 12 | 9 | 36 | 27 | 108 | 81 | 324 |
| [182-186] | 184 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 |
| $\Sigma$ | - | 100 | - | -24 | - | 260 | - | -36 | - | 1868 |
$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{40.68}=6.38$ Иймд оюутнуудын дундаж өндөр $167.04$ см , стандарт хазайлт нь $S=6.38$ см байна. Хүснэгтийн сүүлчийн мөрөнд байгаа утгуудыг ашиглан түүврийн дундаж ба дисперсийг олбол: $$\overline{U}=\frac{-24}{100} \qquad \Rightarrow \qquad \overline{X}=m \cdot \overline{U} +C =4\cdot \frac{-24}{100}+168=167.04$$ $$S_u^2=\frac{260}{100}-\Big(\frac{-24}{100}\Big)^2=2.5424 \Rightarrow S_x^2=m^2\cdot S_u^2=16\cdot 2.5424=40.68$$ $S=\sqrt{S^2}=6.38.$ Иймд оюутнуудын дундаж өндөр 167.04 см, стандарт хазайлт 6.38 см байна гэсэн үг.
Түүврийн бусад тоон үзүүлэлтүүд: түүврийн моод, медиан, асимметр болон эксцессийн коэффициент
- Дискрет вариацийн цувааны хамгийн өндөр давтамжтай вариантыг түүврийн моод $\overline{M}_o$ гэнэ. Харин интервалууд нь ижил $m$ урттай бүлэглэсэн түүврийн моодыг дараах ойролцоо томъёогоор боддог. $$\overline{M}_o=x_0+m \frac{n_i-n_{i-1}}{(n_i-n_{i-1})+(n_i-n_{i+1})} \qquad (10.13)$$ Энд, $x_0$- хамгийн их давтамжтай интервалын эхлэл, $n_i$- хамгийн их давтамж, $n_{i-1}, n_{i+1}$ нь түүний өмнөх болон дараах давтамжууд юм.
- Вариацын цувааг хоёр тэнцүү тооны элементүүд бүхий 2 хэсэгт хувааж байгаа утгыг түүврийн медиан $\overline{m}_e$ гэнэ. Харин интервалууд нь ижил $m$ урттай бүлэглэсэн түүврийн медианыг дараах ойролцоо томъёогоор боддог. $$\overline{m}_e=x_e+m\cdot \frac{n/2-(n_1+...+n_{i-1})}{n_i} \qquad (10.14)$$Энд, $x_e$- голын элеемнтийг агуулсан интервалын эхлэл, $n_i$-голын элементийг агуулсан интервалын давтамж юм.
- Түүврийн $r-$ эрэмбийн анхны ба төвийн моментууд: ($\forall r \in N$)
$$\nu_r=\overline{X^r}=\frac 1n \sum_{i=1}^{k} x_i^r\cdot n_i \qquad (10.16)$$ $$\mu_r=\overline{(X-\overline{X})^r}=\frac 1n \sum_{i=1}^{k} (x_i-\overline{X})^r\cdot n_i \qquad (10.16)$$ - Түүврийн асимметрийн коэффициент: $$ \overline{A}=\frac{\overline{\mu}_3}{S^3} \qquad (10.18)$$ Асимметр буюу тэгшхэмийн коэффициент нь тархалтын муруйн хувьд
(а) $\overline{A}>0$ буюу баруун тэгшхэмтэй үед $\overline{M}_0$ $<\overline{m}_e$ $<\overline{X}$,
(б) $\overline{A}<0$ буюу зүүн тэгшхэмтэй үед $\overline{X}< $ $\overline{m}_e < $ $\overline{M}_0$ харьцаа биелдэг. - Түүврийн эксцессийн коэффициент: $$ \overline{E}=\frac{\overline{\mu}_4}{S^4}-3 \qquad (10.19)$$
(a) $\overline{E}<0$ бол тархалтын муруй "хавтгай" оройтой,
(b) $\overline{E}>0$ бол тархалтын муруй "шовх" оройтой байна.
- Эдгээр коэффициентууд нь тэгш хэмт тархалтын муруйтай харьцуулсан тоон үзүүлэлт бөгөөд хэвийн тархалтын хувьд $A=E=0$ байна.
Интервалын урт $m=4$ ба хамгийн өндөр давтамжтай интервалын эхлэл $x_0=166$ тул (10.13) томъёогоор, $$\overline{M}_o=166+4\cdot \frac{32-20}{(32-20)+(32-12)}=167.5$$ 100 хэмжээст эрэмбэлэгдсэн түүврийн голын элемент 166-170 интервалд орших тул $x_e=166, n_i=32$ ба (10.14) томъёогоор, $$ \overline{m}_e=166+4\cdot \frac{50-(8+14+20)}{32}=167.$$ Иймд $\overline{X}=\overline{M}_o=\overline{m}_e\approx 167$ тул оюутнуудын өндрийг хэвийн тархалттай гэж үзэх үндэстэй байна.
10.2 Тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлт.
Туршилтаар гарган авсан түүврийн утгуудаар , эх олонлогийн тархалтын үл мэдэгдэх параметрүүдийн ойролцоо утгыг тодорхой үнэний хувьтайгаар олохыг үнэлэх гэнэ. Параметрийн утгыг ганц тоогоор ойролцоо илэрхийлж буй учраас "цэгэн үнэлэлт" хэмээн нэрлэнэ. Түүврийн санамсаргүй чанaраас хамааран нэг параметрийн үнэлэлт янз бүр байж болно. Түүнчлэн үл мэдэгдэх параметрийг янз бүрийн аргаар олж болдог. Тухайлбал хэвийн тархалтын $a$ параметрийг дараах утгуудаар авч болно. Үүнд:
Тодорхойлолт 10.1. $M\overline{a}=a$ бол хазайлтгүй үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.2. $\lim_{n \to \infty} P(|a-\overline{a}|<\varepsilon)=1$ бол зохимжтой үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.3. Ижил $n$ хэмжээст түүврээр олсон бүх боломжит хазайлтгүй үнэлэлт дотроос хамгийн бага дисперстэй үнэлэлтийг эрчимтэй үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.4. Эрчимтэй үнэлэлт оршин байгаа тохиолдолд $\overline{a}$ үнэлэлтийн эрчимтэй чанар нь $e= \sigma_{\overline{a}_э}^2 / \sigma_{\overline{a}}^2$ харьцаагаар тодорхойлогдоно. Үүнд: $ \sigma_{\overline{a}_э}^2 $- эрчимтэй үнэлгээний дисперс, $\sigma_{\overline{a}}^2$-тухайн үнэлгээний дисперс. Хэрэв $e \sim 1$ байх тусам илүү эрчимтэй үнэлгээ болно.
- $x_1$ түүврийн эхний элементээр
- $(x_{max}+x_{min})/2$ арифметик дунджаар,
- $Mo$ моодоор, $N(a,\sigma^2)$ тархалтын хувьд $Mo=a$ байдаг.
- $m_e$ медианаар, $N(a,\sigma^2)$ тархалтын хувьд $m_e=a$ байдаг.
- $\overline{X}$ түүврийн дунджаар тус тус үнэлж болдог.
Тодорхойлолт 10.1. $M\overline{a}=a$ бол хазайлтгүй үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.2. $\lim_{n \to \infty} P(|a-\overline{a}|<\varepsilon)=1$ бол зохимжтой үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.3. Ижил $n$ хэмжээст түүврээр олсон бүх боломжит хазайлтгүй үнэлэлт дотроос хамгийн бага дисперстэй үнэлэлтийг эрчимтэй үнэлэлт гэнэ.
Тодорхойлолт 10.4. Эрчимтэй үнэлэлт оршин байгаа тохиолдолд $\overline{a}$ үнэлэлтийн эрчимтэй чанар нь $e= \sigma_{\overline{a}_э}^2 / \sigma_{\overline{a}}^2$ харьцаагаар тодорхойлогдоно. Үүнд: $ \sigma_{\overline{a}_э}^2 $- эрчимтэй үнэлгээний дисперс, $\sigma_{\overline{a}}^2$-тухайн үнэлгээний дисперс. Хэрэв $e \sim 1$ байх тусам илүү эрчимтэй үнэлгээ болно.
Жишээ болгож зарим үнэлэлтүүдийг авч үзье!
- Эх олонлогийн математик дунджаар $a=\overline{X}$ түүврийн дунджаар авбал хазайлтгүй, зохимжтой үнэлэлт болно.
- Эх олонлогийн дисперс $\sigma^2=S^2$ түүврийн дисперсээр авбал хазайлттай, зохимжтой үнэлэлт болно.
- Эх олонлогийн дисперсийг $\sigma^2=\hat{S}^2=\frac{n}{n-1}S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2$ засварласан дисперсээр авбал хазайлтгүй үнэлэлт болно.
- Эх олонлогийн математик дундаж $a$ мэдэгдэж байвал $S_*^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$ үнэлгээ нь хазайлтгүй, зохимжтой үнэлгээ болно.
- Эх олонлог хэвийн тархалттай бол энэ үнэлэлт эрчимтэй байна.
10.3 Цэгэн үнэлэлт байгуулах ХИҮХБ арга
Цэгэн үнэлэлт байгуулах хамгийн өргөн дэлгэрсэн арга бол хамгийн их үнэний хувь бүхий арга (ХИҮХБ арга) юм. $f(x,a)$ тархалтын нягт бүхий эх олонлогоос зохиосон $n$ хэмжээтэй түүвэр $x_1,x_2, \ldots, x_n$ өгөгдсөн байг. Тэгвэл эдгээр утгууд нь нэг ижил тархалттай хамааралгүй с.х болох учир хамтын нягт нь: $$P(x_i,a)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n,a)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i,a) \qquad (10.30)$$ болно. $P(x_i,a)$ -ийг ХИҮХБ функц гэдэг. Харин ХИҮХБ арга нь $P(x_i,a)$ функцийг хамгийн их утгатай байлгах $a$ параметрийн утгыг олоход оршино. $$P(x_i,a) \underset{a}{ \rightarrow } max$$ Энэ функц экстремумтай байх $\Leftrightarrow$ нөхцөл нь: $$\frac{\partial P(x_i,a)}{\partial a}=0, \qquad \hbox{ ба } \frac{\partial ^2 P(x_i,a)}{\partial^2 a} < 0 $$ нөхцлийг хангах $a_0$ цэг дээр ХИ утгаа авна. $P(x_i,a), \quad L(x_i,a)=\ln(P(x_i,a))$ функцүүд нэг ижил цэг дээр экстремум утгаа авах тул заримдаа тооцоог хялбарчлах зорилгоор ХИҮХБ логарифм функцийг ашигладаг.
Жишээ-10.3г: Оюутны өндрийг $\sim N(a,\sigma^2)$ тархалттай гэж үзээд $a,\sigma^2$ параметрүүдийг ХИҮХБ аргаар үнэлж, Гауссын муруйг байгуул.
Хэвийн тархалтын нягтыг ашиглан хамтын тархалтын функцийг бичвэл: $$P(x_i,a,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}}e^{-\sum(x_i-a)^2/(2\sigma^2)} $$ Энэ илэрхийллийн 2 талыг логарифмчилж, ХИҮХБ логарифм функцийг олбол: $$L(x_1,x_2,...,x_n,a,\sigma^2)=-\frac n2\ln(2\pi)-\frac n2\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$$ $a,\sigma^2$ -аар дифференциалчилбал: $$\left\{\begin{array}{lllll} \frac{\partial L}{\partial a}&=&-\frac{2}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)&=&0 \\ \frac{\partial L}{\partial \sigma^2}&=& -\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2&=&0\end{array} \right.$$ Системийг бодож $a$ ба $\sigma^2$ -ийг бодож олбол: $$a=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}x_i=\overline{X}, \qquad \sigma^2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2=S^2$$ Эндээс үзвэл, түүврийн дундаж ба түүврийн дисперс нь хамгийн сайн үнэлэлт болж байна. Оюутны өндөртэй жишээний хувьд $a=167.04$, $\sigma^2=40.68$ байсан тул хэвийн тархалтын нягтын функц буюу Гауссын муруй нь: $$\phi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot exp(-(x-a)^2/2/\sigma^2)=0.0625\cdot e^{-(x-167.04)^2/81.36}$$ болно.
Тооцоог Googlesheet дээр үзэх.
Жишээ-10.3г: Оюутны өндрийг $\sim N(a,\sigma^2)$ тархалттай гэж үзээд $a,\sigma^2$ параметрүүдийг ХИҮХБ аргаар үнэлж, Гауссын муруйг байгуул.
Хэвийн тархалтын нягтыг ашиглан хамтын тархалтын функцийг бичвэл: $$P(x_i,a,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}}e^{-\sum(x_i-a)^2/(2\sigma^2)} $$ Энэ илэрхийллийн 2 талыг логарифмчилж, ХИҮХБ логарифм функцийг олбол: $$L(x_1,x_2,...,x_n,a,\sigma^2)=-\frac n2\ln(2\pi)-\frac n2\ln(\sigma^2)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2$$ $a,\sigma^2$ -аар дифференциалчилбал: $$\left\{\begin{array}{lllll} \frac{\partial L}{\partial a}&=&-\frac{2}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)&=&0 \\ \frac{\partial L}{\partial \sigma^2}&=& -\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2&=&0\end{array} \right.$$ Системийг бодож $a$ ба $\sigma^2$ -ийг бодож олбол: $$a=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}x_i=\overline{X}, \qquad \sigma^2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{X})^2=S^2$$ Эндээс үзвэл, түүврийн дундаж ба түүврийн дисперс нь хамгийн сайн үнэлэлт болж байна. Оюутны өндөртэй жишээний хувьд $a=167.04$, $\sigma^2=40.68$ байсан тул хэвийн тархалтын нягтын функц буюу Гауссын муруй нь: $$\phi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot exp(-(x-a)^2/2/\sigma^2)=0.0625\cdot e^{-(x-167.04)^2/81.36}$$ болно.
| $x_i$ | 156 | 160 | 164 | 168 | 172 | 176 | 180 | 184 |
| $n_i/n$ | 0.08 | 0.14 | 0.2 | 0.32 | 0.12 | 0.08 | 0.04 | 0.02 |
| $\phi(x_i)$ | 0.0140 | 0.0340 | 0.0558 | 0.0618 | 0.0462 | 0.0233 | 0.0079 | 0.0018 |
ХИҮХБ функцийг зарим тархалтын тохиолдолд бичвэл:
- $X\sim N(a,\sigma^2)$ буюу хэвийн тархалттай бол: $$f(x_i,a,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\Big(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-a)^2\Big) \qquad \hbox{, энд }exp(x)=e^x$$ $$P(x_i,a,\sigma^2)=\frac{1}{(\sigma\sqrt{2\pi})^n}exp\Big(-\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2/(2\sigma^2) \Big) \qquad (10.34)$$
- $X\sim$ Пуассоны тархалттай бол: $$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad (k=\overline{1,n})$$ $$P(x_i,\lambda)=\frac{\lambda^{(x_1+...+x_n)}}{x_1!x_2! ... x_n!}\cdot e^{-n\lambda}\qquad (10.35)$$
- $X\sim$ Илтгэгч тархалттай бол: $$f(x,\lambda)=\lambda e^{-\lambda x} \hbox{ тул }$$ $$ P(x_i,\lambda)=\lambda^n\cdot exp\Big(-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\Big)\qquad (10.36)$$
- $X\sim$ нь $x_i \quad (i=\overline{1,n})$ утгуудыг $p_i$ магадлалтай хүлээн авах бином тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол: $$P(x_i,p)=p^{\sum x_i}\cdot (1-p)^{\sum (n-x_i)} \qquad (10.37)$$
- $X\sim$ нь Геометр тархалттай бол: $$f(x_i,p)=p(1-p)^{x-1}, \quad x=1,2, ... \hbox{ учир }$$ $$P(x_i,p)=p^n\cdot (1-p)^{-n+\sum x_i} \qquad (10.38)$$
- $X\sim \Gamma(r,\lambda)$ буюу Гамма тархалттай бол: $$f(x,r,\lambda)=\frac{\lambda^rx^{r-1}}{\Gamma(r)}e^{-\lambda x}, \quad \lambda,r,x - \hbox{ нь бүгд эерэг ба энд } \Gamma(r)=\int_0^{+\infty} x^{r-1}e^{-x}dx$$ $$L(x_i,r,\lambda)=nr\cdot \ln(\lambda)+(r-1)\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)-n\ln[\Gamma(r)]-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i \qquad (10.39)$$
Жишээ-10.4: $x_1,x_2,...,x_n$ түүврийн утгуудаар жигд тархалтын $a,b$ параметрийг моментийн аргаар үнэл.
Жигд тархалтын нягтын функц: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1/(b-a) &,& x \in [a,b] \\ 0 &,& x \notin [a,b] \end{array}\right.$$ $$\mu_1=MX=\int_a^b \frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$$ $$ \nu_2=MX^2=\int_a^b \frac{x^2}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$$ Харгалзах түүврийн моментууд нь: $$\overline{\nu}_1=\overline{X}, \qquad \overline{\mu}_2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$ тул харгалзан тэнцүүлбэл, $$\overline{\nu}_1=\frac{a+b}{2}, \qquad \overline{\nu}_2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$$ системлэн бодож $a,b$ параметрүүдийг олбол: $$\overline{a}=\overline{\nu}_1-\sqrt{3(\overline{\nu}_2-\overline{\nu}_1^2)}=\overline{X}-\sqrt{3}S$$ $$\overline{b}=\overline{\nu}_1+\sqrt{3(\overline{\nu}_2-\overline{\nu}_1^2)}=\overline{X}+\sqrt{3}S$$
Lectrue10.pdf толилуулга татаж үзэх.
Жигд тархалтын нягтын функц: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1/(b-a) &,& x \in [a,b] \\ 0 &,& x \notin [a,b] \end{array}\right.$$ $$\mu_1=MX=\int_a^b \frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$$ $$ \nu_2=MX^2=\int_a^b \frac{x^2}{b-a}dx=\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$$ Харгалзах түүврийн моментууд нь: $$\overline{\nu}_1=\overline{X}, \qquad \overline{\mu}_2=\frac 1n \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$ тул харгалзан тэнцүүлбэл, $$\overline{\nu}_1=\frac{a+b}{2}, \qquad \overline{\nu}_2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$$ системлэн бодож $a,b$ параметрүүдийг олбол: $$\overline{a}=\overline{\nu}_1-\sqrt{3(\overline{\nu}_2-\overline{\nu}_1^2)}=\overline{X}-\sqrt{3}S$$ $$\overline{b}=\overline{\nu}_1+\sqrt{3(\overline{\nu}_2-\overline{\nu}_1^2)}=\overline{X}+\sqrt{3}S$$
Lectrue10.pdf толилуулга татаж үзэх.
