Магадлалын онол статистикийн лекц, семинарын бодлого

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягт өгөгдөв. $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll} (3x+2y+1)/9, & 0<x<1,\,  0<y<2 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (a) $f_1(x)$, $f_2(y)$ нягтын функцүүд (b) $f(y|x)$, $f(x|y)$ нөхцөлт нягтын функцүүдийг тус тус ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тархалтын нягг өгөгдөв. $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll} (2x+y+1)/16, & 0<x<2,\,  0<y<2 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (a) $f_1(x)$, $f_2(y)$ нягтын функцүүд (b) $f(y|x)$, $f(x|y)$ нөхцөлт нягтын функцүүдийг тус тус ол.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем $(X,Y)$ дараах нягтын функцтэй $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll} xy, & 0<x<2,\,  0<y<1 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын функиийг ол (b) $X$, $Y$ тус бүрийн нягтын функцийг ол (c) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $(Y>X^2)$ үзэгдлийн магадлалыг ол (е) $X, $Y$ хамааралтай эсэхийг тогтоо.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем $(X,Y)$ дараах нягтын функцтэй $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll} x+y, & 0<x<1,\,  0<y<1 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын функиийг ол (b) $X$, $Y$ тус бүрийн нягтын функцийг ол (c) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $(Y>X^2)$ үзэгдлийн магадлалыг ол (е) $X, $Y$ хамааралтай эсэхийг тогтоо.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний систем $(X,Y)$ дараах нягтын функцтэй $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll} (y-3)/3, & 0<x<1,\,  0<y<3 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын функиийг ол (b) $X$, $Y$ тус бүрийн нягтын функцийг ол (c) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $(X>Y^2/4)$ үзэгдлийн магадлалыг ол (е) $X, $Y$ хамааралтай эсэхийг тогтоо.

$X$, $Y$—хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тус бүрийн тархалтын нягт өгөгдөв. $f_1(x)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & x \geq 3,\, x>7 \\     0,25 & 3<x\leq 7   \end{array} \right.$ $f_2(y)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & y \geq 0,\, y>10 \\     0,1 & 0<y\leq 10   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн хамтын тархалтын нягтын функц (b) санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын функц (c) $(X,Y)$ системийп хамтын тархалтын функцийг тус тус ол.

$X$, $Y$—хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тус бүрийн тархалтын нягт өгөгдөв. $f_1(x)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & x \geq -1,\, x>1 \\     0,5 & -1<x\leq 1   \end{array} \right.$ $f_2(y)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & y \geq 0,\, y>2 \\     0,5 & 0<y\leq 2   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн хамтын тархалтын нягтын функц (b) санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын функц (c) $(X,Y)$ системийн хамтын тархалтын функцийг тус тус ол.

$X$, $Y$—хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын нягт өгөгдөв. $f_1(x)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & x \geq 0,\, x>1 \\     1, & 0<x\leq 1   \end{array} \right.$ $f_2(y)= \left\{   \begin{array}{ll}      0 & y \geq 2,\, y>6 \\     1, & 2<y\leq 6   \end{array} \right.$ (a) $(X,Y)$ системийн хамтын тархалтын нягтын функц (b) санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын функц (c) $(X,Y)$ системийн хамтын тархалтын функцийг тус тус ол.

Хоёр хэмжээст тасралтгүй тархалтын нягтын функц өгөгдөв. $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll}      C(x+2y) & 0\leq x \leq 2,\, 1\leq y\leq 2 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (а) $C$—тогтмолыг ол, (b) $P(X\leq 1, Y>1,5)$, $P(X>1)$ магадлалуудыг ол (с) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $f(y|x=1)$ нөхцөлт нягтыг ол (е) $P(Y<1,5|X=1)$ магадлалыг ол (f) $M(Y|X=1)$ нөхцөлт дунджийг ол.

Хоёр хэмжээст тасралтгүй тархалтын нягтын функц өгөгдөв. $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll}      C(3x+y) & 1\leq x \leq 2,\, 1\leq y\leq 3 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (а) $C$—тогтмолыг ол, (b) $P(X\leq 1,5,\, Y>2)$, $P(Y<2)$ магадлалуудыг ол (с) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $f(x|y=2)$ нөхцөлт нягтыг ол (е) $P(X>1,5|Y=2)$ магадлалыг ол (f) $M(Y|X=2)$ нөхцөлт дунджийг ол.

Хоёр хэмжээст тасралтгүй тархалтын нягтын функц өгөгдөв. $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll}      Cxy & 0\leq x \leq 3,\, 0\leq y\leq 3 \\     0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ (а) $C$—тогтмолыг ол, (b) $P(X<2, Y<3)$, $P(Y>1)$ магадлалуудыг ол (с) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын функцийг ол (d) $f(y|x=1,5)$ нөхцөлт нягтыг ол (е) $P(Y<2|X=1,5)$ магадлалыг ол (f) $M(Y|X=1,5)$ нөхцөлт дунджийг ол.

3 хар, 3 цагаан, 2 улаан бүрэлдэхүүн бүхий 8 шаарнаас таамгаар 4-ийг авах туршилт хийхэд $X$— түүвэр дэх улаан шаарны тоо $Y$—түүвэр дэх цагаан шаарны тоо бол (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын хуулийг байгуул (b) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул (c) $X=1$ үеийн $Y$—ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуулж хамааралтай эсэхийг тогтоо.

Хайрцагт 3 бор, 2 шар, 5 цагаан үрэл байв. Таамгаар 3 үрэл сонгон авахад $X$—түүвэр дэх шар үрлийн тоо $Y$—түүвэр дэх цагаан үрлийн тоо бол (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын хуулийг байгуул (b) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул (c) $X=0$ үеийн $Y$—ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуулж хамааралтай эсэхийг тогтоо.

Хайрцагт 4 улаан, 2 хөх, 3 ногоон харандаа байв. Таамгаар 3 харандаа авах туршилт хийхэд $X$—түүвэр дэх улаан харандааны тоо $Y$—түүвэр дэх хөх харандааны тоо бол (a) $(X,Y)$ системийн тархалтын хуулийг байгуул (b) $X$, $Y$ тус бүрийн тархалтын хуулийг байгуул (c) $Y=1$ үеийн $X$—ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуулж хамааралтай эсэхийг тогтоо.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжнгдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. (a) $X$, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуулийг ол. (b) $P(X\leq 1,\, Y>1)$, $P(X\geq 1,\, Y=4)$—магадлалуудыг ол (c) $X=1$ үеийн $Y$—ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуул (d) $X$, $Y$ хамааралтай эсэхийг тогтоо. (е) $M(X|Y=3)$ ба $M(Y|X=2)$ нөхцөлт дунджийг ол. (f) Сарнилын төв ба тэнхлэгийн дагуух сарнилуудыг ол.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. (a) $X$, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуу- лийг ол. (b) $P(X\leq 2,\, Y>-2)$, $P(X\geq 1,\, Y=3)$—магадлалуудыг ол. (c) $Y=3$ үеийн $X$—ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуул. (d) $X$, $Y$ хамааралтай эсэхийг тогтоо. (е) $M(X|Y=3)$, ба $M(Y|X=2)$ нөхцөлт дунджийг ол. (f) Сарнилын төв ба тэнхлэгийн дагуух сарнилуудыг ол.

$(X,Y)$ системийн нягт $f(x,y)= \left\{   \begin{array}{ll}    e^{-y}, &0\leq x\leq y \\    0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }   \end{array} \right.$ бол  (a) $M(X|Y=y) \qquad  (b) \, cov(X,Y)$  тус тус ол.

Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль өгөгдөв. (a) $X$, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн тархалтын хуулийг ол. (b) $P(X<2,\, Y\leq 3), P(X \geq 1,\, Y=1)$ - магадлалуудыг ол. (c) $X=1$ үеийн $Ү$ -ийн нөхцөлт тархалтын хуулийг байгуул. (d) $X$, $Ү$ хамааралтай эсэхийг тогтоо. (е) $М(Ү|Х=1) \hbox{ ба } M(Х|У=4)$ нөхцөлт дунджийг ол. (f) Сарнилын төв ба тэнхлэгийн дагуух сарнилуудыг ол.

Шоог түүн дээр буусан нүднүүдийн нийлбэр 840 болтол хаяв. Тэгвэл 230-250 удаа хаясан байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

Бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх хугацаа илтгэгч тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд бүтээгдэхүүн бүрийг үйлдвэрлэх дундаж хугацаа 3 минут. Нэгж бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх хугацаа хоорондоо хамааралгүй бол 100 бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэхэд 5-6 цаг зарцуулах үзэгдлийн магадлалыг ол.

Зоос хаях туршилтыг 120 удаа давтан хийв. $X_i$- зоос сүлдээрээ буух тоо бол $X=\sum_{i=1}^{120}X_i$ хэмжигдэхүүн $[56; 72]$ завсраас утгаа авах магадлалыг ол.

Хүний алхмын урт 60-80см-ийн хооронд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байдаг бөгөөд алхмууд нь хоорондоо хамааралгүй гэвэл 3000 удаа алхахад 2.09км-ээс багагүй, 2.11км-ээс ихгүй зам туулах үзэгдлийн магадлалыг ол.

Тус бүр нь $[0; 2]$ хэрчим дээр жигд тархалттай, хамааралгүй 14 санамсаргүй хэмжигдэхүүн авав.Эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн нягтын функцийг ойролцоогоор бичиж, $[13; 15]$ завсраас утгаа авах магадлалыг ол.

Харгалзан $[-1;1]$, $[-2;2]$, ..., $[-n;n]$ хэрчмүүд дээр жигд тархалттай, хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал $X_1,\,X_2,\,\ldots , X_n$-ийн хувьд $n\to\infty$ үед Чебышевийн теоремийг хэрэглэж болох уу?

Даатгалын компани даатгуулагчтай байгуулсан 5 гэрээ тутмын 1-д нь даатгалын мөнгө төлдөг болох нь туршлагаар нотлогджээ. Даатгалд мөнгө төлсөн тооны харьцангуй давтамж ба магадлалын ялгавар абсолют хэмжигдэхүүнээрээ 0,01-ээс хэтрэхгүй байх магадлал 0,9-өөс багагүй байхын тулд хэдэн даатгуулагчтай гэрээ байгуулсан байх шаардлагатай вэ?

Тухайн сургуулийн оюутан бүх шалгалтаа хугацаанд нь өгч чадах магадлал 0,7. Тус сургуулийн 2000 оюутнаас бүх шалгалтаа хугацаанд нь өгч чадах оюутны тооны харьцангуй давтамж 0,66- 0,74 байх магадлалыг Чебыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл.

Туршилт бүрд 0,75 магадлалтай илрэх $A$ үзэгдлийн харьцангуй давтамж ба магадлалын ялгавар абсолют хэмжигдэхүүнээрээ 0,05-аас үл хэтрэх магадлал 0,96-аас багагүй байхын тулд дор хаяж хэдэн удаа туршилт хийвэл зохих вэ?

Стандарт бус радиоламп үйлдвэрлэх магадлал $p= 0,04$. Стандарт бус радиолампны хувь ба стандарт бус ламп үйлдвэрлэх магадлалын ялгавар (абсолютаараа) 0,02-оос ихгүй байх магадлал 0,88-аас бага биш байхын тулд хамгийн цөөндөө хэдэн радио ламп сонгон авбал зохих вэ?

Хүн ам олноор суурыпсан хотын хөдөлмөрийн чадвартай хүмүүсийн 10% нь ажилгүй. Хөдөлмөрийн чадвартай 1000 оршин суугчдын дотор ажшпүйдлийн түвшин 9%-11% байх үзэгдлийн магадлалыг (a) Чебыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл; (b) Муавр-Лапласын томъёогоор олж харьцуулан үз.

Даатгалын компани 10000 машиныг даатгалд хамруулсан. Ямар нэг машин осолд орж эвдрэх магадлал 0,006. Тухайн жилд 50-70 автомашинд даатгалын мөнгө төлөх үзэгдлийн магадлалыг (a) Чебыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл; (b) Муавр-Лапласын томъёогоор олж харьцуулан үз.

Бином тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд $$P\left(\left| \frac{m}{n}-p \right|\geq 0,9  \right)$$ байх хамгийн бага $n$-ийг ол.

$X$ нь $f(x)=\left\{\begin{array}{lc} 6x(1-x) & 0<x\leq 1 \\ 0   & \mbox{бусад үед} \end{array}\right.$ нягт бүхии санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол (a) $P(0.2<X<0.8)$ магадлалыг Чебыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл, (b) $P(0.2<X<0.8)$ магадлалын жинхэнэ утгыг олж жиш.

$X$—математик дундаж нь 20 байх илтгэгч тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн. (а) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дунджаасаа ялгагдах ялгаа нь хоёр стандарт хазайлтаас их байх магадлалыг Чебыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл; (b) Магадлалын жинхэнэ утгыг олж жиш.

$X$ нь [0; 10] хэрчим дээр жигд тархалттай. (а) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дунджаасаа ялгагдах ялгаа нь хоёр стандарт хазайлтаас их байх магадлалыг Чебышевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл; (b) Магадлалын жинхэнэ утгыг олж жиш.

Дөрвөн замын уулзвар дээр 1 цагийн дотор ирэх машины тоо $\lambda= 100$ байх пуассоны тархалттай гэе. Тэгвэл 1 цагийн дотор уулзвар дээр ирэх машины тоо 70-130 байх магадлалыг Чебышевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл.

Шинэ эм цусны даралт бууруулах магадлал 0,6. 30 удаа туршилт хийв. Цусны даралт бууруулсан тохиолдлын тоо хамгийн их ма- гадлалтай тооноосоо 3-аас ихгүйгээр хазайх магадлалыг үнэл.

Халаалттай улиралд байрны дундаж температур 20°C, харин дундаж квадрат хазайлт нь 2°С. Байрны температур дундаж утгаасаа абсолют хэмжигдэхүүнээрээ 4°С-аас багаар хазайх үзэгдлийн магадлалыг үнэл.

Тухайн орон нутагт нартай өдрийн тоо жилд 120 өдөр бүхий дундаж утгатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол ирэх жил нартай өдрийн тоо (а) 150-аас олон байх, (b) 190-ээс цөөн байх үзэгдлийн магадлалыг тус тус үнэл.

Банкны салбарт өдөрт дунджаар 160 хүн уйлчлүүлнэ. Өнөөдөр тус салбарт (а) 200-аас олон хүн, (b) 180-аас цөөн хүн үйлчлүүлэх үзэгдлийн магадлалыг тус тус үнэл үнэл.

Жолооч замын уулзварт ногоон гэрэл хүлээх хугацааны түүвэр өгөгдөв (минутаар). 0.000 0.001 0.003 0.012 0.044 0.156 0.534 0.802 0.007 0.822 0.873 0.170 0.476 0.322 0.648 0.991 0.107 0.726 0.393 0.827 0.419 0.071 0.309 0.927 0.778 0.327 0.961 0.826 0.308 0.414 0.707 0.515 0.729 0.884 0.632 0.835 0.318 0.394 0.502 0.471 0.306 0.600 0.846 0.678 0.623 0.648 0.838 0.659 0.742 0.454. Интервалын вариацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Туршилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компьютерийн программ ашиглаж болио.

Холхивчны диаметр жинхэнэ хэмжээнээсээ хазайх хазайлтыг хэмжсэн үр дүн өгөгдөв (микрометрээр). 0.450 -1.752 -0.291 -0.933 0.512 -1.256 1.701 -0.634 0.720 0.490 1.531 -0.433 1.409 1.730 0.266 -0.058 0.248 -0.095 -1.488 -0.361 0.415 -1.382 0.129 -0.361 0.087 0.329 0.086 0.130 -0.244 -0.882 0.318 -1.087 0.899 1.028 -1.304 0.349 -0.293 -0.883 -0.056 0.757 0.194 -0.059 -0.539 1,084 -0.078 -0.229 0.367 -0.318 -0.992 0.529 Интервалын варртацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Туршилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компьютерийн программ ашиглаж болно.

Метроны галт тэрэг 2 минут тутамд ирнэ. Зорчигч метро хүлээх хугацааг судалж, дараах түүвэр үүсгэжээ (минутаар). 0.010 1.002 0.007 0.325 1.009 0.315 1.068 1.624 0.014 1.045 1.747 0.741 0.352 1.645 1.207 0.981 0.614 1.452 0.287 1.654 0.138 1.143 0.218 1.853 0.555 0.653 0.922 1.653 1.317 0.828 0.413 1.030 0.759 0.769 1.265 0.669 0.635 1.787 1.004 1.541 0.612 1.270 1.692 0.356 0.245 1.295 0.677 1.317 1.483 0.908 Интервалын вариацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Туршилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компьютерийн программ ашиглаж болно.

Завод автомашины кардан гол үйлдвэрлэнэ. Кардан голны диаметр жинхэнэ хэмжээнээсээ хазайх хазайлт дараах түүврээр өгөгдөв (микрометрээр). -8.760 3.170 -4.655 -2.550 2.560 -1.645 0.425 0.650 -1.220 -4.410 -6.280 8.550 -4.655 0.360 2.450 1.590 -5.435 4.495 5.140 -6.520 7.655 -2.215 7.045 8.650 -1.330 1.745 -1.460 -4.415 0.280 -3.785 -4.790 1.240 -0.475 -7.440 -1.805 -0.295 -2.695 -0.390 1.145 0.970 2.075 -6.910 0.645 -11.805 -5.435 -5.420 1.590 1.835 -4.960 2,645. Интервалын вариацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Туршилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компьютерийн программ ашиглаж болно.

Их сургуулийн 80 оюутны математикийн хичээлд авсан онооны түүвэр өгөгдөв. 68 84 75 82 68 90 62 88 76 93 73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72 66 78 82 75 94 77 69 74 68 60 96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75 65 80 73 57 88 78 62 76 53 74 86 67 73 81 72 63 76 75 85 77 Интервалып вариацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Туршилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компьютерийн программ ашиглаж болно.

80 хүний нэг 7 хоногийн турпт хувийн компыотер дээрээ ажил- ласан цагийг тэмдэглэн авч түүвэр үүсгэжээ. 4.1 0.8 1.5 10.4 3.8 5.9 4.2 3.4 1.2 5.7 2.9 1.6 14.6 6.1 5.8 3.7 13.5 3.1 4.8 2.0 4.7 14.8 5.4 4.2 15.4 3.9 4.1 6.9 11.1 3.5 2.1 4.1 7.3 8.8 3.5 5.6 8.1 4.3 0.4 3.3 7.1 3.4 10.3 6.2 7.6 2.8 14.2 9.5 12.9 1.9 12.1 0.7 9.1 4.0 6.1 9.2 4.4 10.8 5.7 7.2 8.3 5.7 7.8 5.9 9.9 4.7 11.6 3.9 5.2 3.7 6.0 3.1 2.2 6.1 9.4 3.0 4.1 10.8 6.1 3.1 Интервалын вариацын цуваа байгуулж, гистограмаар дүрсэл. Тур- шилтын тархалтын функц, түүний графикийг байгуул. Компью- терийн программ ашиглаж болно.

Шинээр үйлдвэрлэсэн лампны тасралтгүй асах хугацааг туршихад дараах үр дүн илрэв (цагаар). 61 68 70 72 66 74 68 76 70 72 69 62 70 63 72 74 72 73 73 66 65 71 67 70 69 70 64 69 71 67 73 71 69 72 75 65 71 66 68 76 72 68 70 70 69 67 70 77 67 71 (а) Интервалын эхлэлийг 60-аар сонгон авч $\Delta=2$ урттай интервалын вариацын цуваа зохио. (b) Харьцангуй давтамжийн гистограм байгуул. (с) Дискрет вариацын цуваа болгон хувиргаж, полигоноор дүрсэл.

Химийн урвалын үргэлжлэх хугацааг судлах явцад дараах ба- римтууд илэрчээ (минутаар). 12 31 21 21 34 36 20 24 21 17 22 17 16 15 19 20 27 15 20 13 19 32 28 26 24 19 25 19 23 28 17 23 15 13 30 25 35 32 24 30 15 17 31 16 21 25 24 24 27 26 (а) Интервалын эхлэлийг 11-ээр сонгон авч $\Delta= 3$ урттай интервалын вариацын цуваа зохио. (b) Харьцангуй давтамжийн гистограм байгуул. (с) Дискрет вариацын цуваа болгон хувиргаж, полигоноор дүрсэл.

4-р ангийн сурагчид тестийн бодлогыг бодсон хугацааг тэмдэг- лэн авч дараах түүврийг үүсгэв (секундээр). 38 60 41 51 33 43 45 21 53 60 68 52 47 46 49 49 14 57 54 59 77 47 28 48 58 32 42 58 61 30 61 35 47 72 41 45 44 55 30 40 67 65 39 48 43 60 54 42 55 50 (a) Интервалын эхлэлийг 14-өөр сонгон авч $\Delta x$ урттай интервалын вариацын пуваа зохио. (b) Харьцангуй давтамжийн гистограм байгуул. (c) Дискрет вариацын цуваа болгон хувиргаж, полигоноор дүрсэл.

(a) Интервалын вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, гистограмаар дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 36 29 43 30 32 23 29 33 36 27 31 22 27 34 39 30 41 31 37 31 38 33 24 28 21 26 27 35 32 24 34 37 34 40 33 25 31 28 22 29 Интервалын эхлэл: 20. интервалын алхам: 3.

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 50 53 58 54 51 55 53 58 51 48 55 58 51 58 50 53 54 58 49 58 53 50 51 49 58 54 48 51 53 55 56 53 48 53 54 50 54 58 50 51

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 32 35 30 34 34 36 35 37 34 33 33 36 35 32 35 37 36 34 30 35 35 37 33 34 30 36 33 38 32 34 36 31 34 35 32 35 33 31 33 36

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 18 14 15 17 20 16 18 18 16 13 17 16 13 16 18 14 15 19 16 17 19 16 14 17 20 17 12 15 16 18 15 17 15 16 18 15 19 17 14 16

(a) Дискрет вариацын цуваа байгуул (b) Харьцангуй давтамжийн таблиц зохиож, полигоноор дүрсэл (c) Туршилтын тархалтын функцийг бичиж, график байгуул. 1 -3 2 0 1 4 -1 1 0 2 3 1 3 -2 4 0 5 -2 1 1 -1 1 3 -3 4 2 5 0 -1 0 2 4 -2 3 -1 1 3 2 3

Дараах өгөгдөл нүдний торлог нь хэвийн бус өвчтөний, нүдний судсан дахь флуоресцент будагч бодис алдагдах хэмжээг илэрхийлнэ. 1.6  1.4  1.2  2.2  1.8  1.7  1.8  6.3  2.4  2.3  18.9  22.8 Энэхүү түүврийг хэвийн тархалттай олонлогоос зохиосон мэтээр үзэж, $a$, $\sigma^2$ параметрүүдийн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.

$X$—Газар шорооны ажил хийж буй ажилчны нэг өдрийн хө- дөлмөрийн бүтээмж хэвийн тархалттай. Хүснэгтэнд, ажилчцы хөдөлмөрийн бүтээмжийн туршилтын тархалт өгөгдөв. Үүнд, $x_i$ нь өдрийн хөдөлмөрийн бүтээмж ($м^3$), $n_i$ нь өдрийн бүтээмж нь $x_i$ байх ажилчдын тоо. Хэвийн тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.

$X$—үл хамаарах туршилтанд $A$ үзэгдэл илрэх тоо бином тархалттай. Хүснэгтэнд, туршилт бүрийг 7 удаа давтан хийсэн 12 удаагийн туршилтын үр дүн өгөгдөв. Үүнд, $x_i$ нь нэг удаагийн турпшлтанд $A$ үзэгдэл илэрсэн тоо, $n_i$ нь $A$ үзэгдэл $x_i$ удаа илэрсэн туршилтын тоо. Бином тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.

$X$—элемент эврэлгүй ажиллах хугацаа илтгэгч тархалттай. Хүснэгтэнд элементүүд эвдрэлгүй ажиллах дундаж хугацааны туршилтып тархалт өгөгдөв. Үүнд, $x_i$ нь элементийн ажиллах хугацаа (цагаар), $n_i$ нь $x_i$ цаг тасралтгүй ажилласан элементийн тоо. Илтгэгч тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.

$X$—үр тарианы сорьц дахь зэрлэг ургамлын үрийн тоо Пуассоны тархалттай. 1000 сорьцонд илэрсэн зэрлэгийн үрийн тоо түүврээр өгөгдөв. Үүнд, $x_i$ нь нэг сорьц дахь зэрлэгийн үрийн тоо, $n_i$ нь $x_i$-г зэрлэгийн үртэй сорьцын тоо. Пуассоны тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.

$X$—Радио-алсыг хэмжигчээр холыг хэмжихэд гарах алдаа жигд тархалттай. Хүснэгтэнд, алдааны дунджийн туршилтын тархалт өгөгдөв. Үүнд, $x_i$ нь алдааны тоо, $n_i$ нь $x_i$ алдаа гарсан хэмжилтийн тоо. Жигд тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн цэгэн үнэлэлтийг моментийн аргаар ол.

$p$ параметр бүхий геометр тархалттай эх олонлогоос $x_1,\, x_2,\ldots , x_n $ түүвэр авав. (a) Өгөгдсөн түүврээр, $p$ параметрийн цэгэн үнэлэлтийг моментийн аргаар байгуул. (b) Дараах өгөгдлийг ашиглан $p$ параметрийн үнэлэлтийг ол: 2 5 7 43 18 19 16 11 22 4 34 19 21 13 6 21 7 12.

Түүврийн вариантуудыг хувиргах замаар түүврнйн дундаж, дисперс, ассиметрийн болон эксцессийн коэффици- ентийг хялбараар тооцоолж ол. Саалийн фермийн үнээ сүү орох үеийн саамны хэмжээгээр түүвэр үүсгэв (литрээр).

Түүврийн вариантуудыг хувиргах замаар түүврнйн дундаж, дисперс, ассиметрийн болон эксцессийн коэффици- ентийг хялбараар тооцоолж ол. 400 хөрөнгө оруулагчдаас, хөрөнгийн бирж дээр нэг улиралд хийсэн хэлэлцээрийн тооны түүвэр өгөгдөв.

Улаанбаатар хотоос Архангай аймгийн төв хүртэл онгоц нисэх хугацааг 50 удаа бүртгэж дараах түүврийг үүсгэжээ. 60 64 65 70 78 80 74 60 65 63 70 76 62 66 71 76 63 66 71 78 65 69 73 79 66 68 74 75 64 66 74 75 67 67 72 76 61 68 72 77 68 71 70 72 68 72 69 73 69 70 (a) Түүврийн интервалын вариацын цувааг 60-аас эхлэн $m=2$ алхамтайгаар байгуул (b) Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд —$\bar{X},\, S^2, S, \bar{M_0},\, \bar{m_e}$-г тус тус ол.

Диодыг сэргээх хугацааны түүвэр нонасекундээр өгөгдөв. 61 70 73 68 61 73 70 72 67 70 66 70 76 68 71 71 68 70 64 65 72 70 70 69 66 70 77 69 71 74 72 72 72 68 70 67 71 67 72 69 66 75 76 69 71 67 70 73 71 74 (a) Түүврийн интервалын вариацын цувааг 61-ээс эхлэн $m=2$ алхамтайгаар байгуул (b) Түүврийн тоон үзүүлэлтүүд —$\bar{X},\, S^2,\, S,\, \bar{M_0},\, \bar{m_e}$-г тус тус ол.

Түүврийн дундаж, дисперс, стандарт хазайлт, мод, медианыг олж, үр дүнг тайлбарла. Өмнөд Иснанид өөр өөр өдрүүдэд нарны идэвжилтийг шууд хэмжихэд дараах үр дүн илэрчээ (ватт/$m^2$). 562 869 708 775 775 704 809 856 655 806 878 909 918 558 768 870 918 940 946 661 820 898 935 952 957 693 835 905 939 955 960 498 653 730 753

Түүврийн дундаж, дисперс, стандарт хазайлт, мод, медианыг олж, үр дүнг тайлбарла. Онцгой байдлын албаны эмнэлэгт ирж үйлчлүүлсэн өвчтөн да- раалал хүлээх хугацааг 40 хоног судлахад дараах баримт илэрчээ (минут). 2 5 10 12 4 4 7 17 11 8 9 8 12 21 6 2 10 5 15 11 8 7 13 18 3 9 12 7 5 14 5 3 16 7 8 15 4 6 9 12

Түүврийн дундаж, дисперс, стандарт хазайлт, мод, медианыг олж, үр дүнг тайлбарла. 2004 онд Флорида мужийн Наплес-д болсон минимарафонд (13.1 mile) 6 насны ангилалд оролцсон гүйгчдээс 40 хүний насны түүвэр өгөгдөв. 49 33 40 37 56 44 46 57 55 32 50 52 43 64 40 46 24 30 37 43 31 43 50 36 61 27 44 35 31 43 52 43 66 31 50 72 26 59 21 47

 Түүврийн дундаж, дисперс, стандарт хазайлт, мод, медианыг олж, үр дүнг тайлбарла. Хүсээгүй  e-mail, spam зэргийг ялгах нь конторын ажилтнуудын хөдөлмөрийн бүтээмжид нөлөөлдөг ажээ. Үр ашиггүй энэ хугацааг судлах зорилгоор тодорхой компаний (Insight Express) конторын ажилтнуудаас асуулга авсан үр дүн минутаар өгөгдөв: 2 4 8 6 12 7 12 5 6 8 1 2 11 4 3 2 3 12  2 5 7 9 7 1 13 5 13 4 3 8 11 1 4 9 10 5 6 1 10 8