7.26.

$(X,Y)$ системийн нягт $f(x,y)= \left\{
  \begin{array}{ll}
   e^{-y}, &0\leq x\leq y \\
   0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }
  \end{array}
\right.$ бол  (a) $M(X|Y=y) \qquad  (b) \, cov(X,Y)$  тус тус ол.

Хамтын тархалтын функцээс тус бүрийн тархалтын функцийг олвол,
$$f_1(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dy=\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy=-e^{-y}\Big|_{x}^{\infty}=e^{-x}, \qquad 0 \leq x $$
$$f_2(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx=\int_{0}^{y} e^{-y} dx = e^{-y}y, \qquad 0 \leq x \leq y$$ гарна. Нөхцөлт магадлал $f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_2(y)}=\left\{
  \begin{array}{ll}
     1/y, &0\leq x\leq y \\
    0, & \hbox{ бусад тохиолдолд }
  \end{array}
\right.$

• (a) $$M(X|Y=y)=\int_0^y \frac xy dx=\frac{x^2}{2y}\Big|_0^y=\frac y2$$
• (b) $$ MX = \int_0^{\infty}\int_{x}^{\infty} xe^{-y} dydx=\int_0^{\infty} -xe^{-y}\Big|_{x}^{\infty}dx$$ $$ =\int_0^{\infty} xe^{-x}dx=(-x-1)e^{-x}\Big|^{\infty}_{0}=1.$$
• $$ MY = \int_0^{\infty}\int_{x}^{\infty} ye^{-y} dydx=\int_0^{\infty} (-y-1)e^{-y}\Big|_{x}^{\infty}dx$$ $$ =\int_0^{\infty} (x+1)e^{-x}dx=(-x-2)e^{-x}\Big|^{\infty}_{0}=2.$$
• $$ MXY = \int_0^{\infty}\int_{x}^{\infty} xye^{-y} dydx=\int_0^{\infty} x(-y-1)e^{-y}\Big|_{x}^{\infty}dx$$ $$ =\int_0^{\infty} x(x+1)e^{-x}dx=-(x^2+3x+3)e^{-x}\Big|^{\infty}_{0}=3.$$
• Одоо $cov(X,Y)=MXY-MX\cdot MY=3-1\cdot 2=1.$