10.22
Олноор үйлдвэрлэсэп гал хамгаалагчийн чанарыг шалгах зорилгоор 500 гал хамгаалагчийг таамгаар сонгон авч туршив. Тэд- гээрийн 451 нь эхний хүчдэлийп өөрчлөлгөнд, 44 нь 2 дахь хүчдэлийн өөрчлөлтөнд, 4 нь 3 дахь хүчдэлийн өөрчлөлтөнд, 1 нь 4 дэх хүчдэлийн өөрчлөлтөнд шатжээ. Гал хамгаалагчийг шатахад хүргэж байгаа хүчдэлийп өөрчлөлтийн тоог геометр тархалттай гэж үзээд үл мэдэгдэх нараметрийн цэгэн үнэлэлтийг ХИҮХБ аргаар ол.
[1] номын 162 -р хуудас дээр геометр тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний $p$ параметрийг хамгийн их үнэний хувь бүхий аргаар дараах байдлаар үнэлсэн байна. Тархалтын нягтын функц $$ f(x,p)=p(1-p)^{x-1}, \qquad x=1,2,... ,500$$
гэвэл ХИҮХБ функц дараах хэлбэртэй болно. $$P(x_i,p)=\prod_{i=1}^{500}[p(1-p)^{x_i-1}]=p^{500}(1-p)^{-500+\sum_{i=1}^{500}x_i}.$$ ХИҮХБ логарифм функцийг олж $p$ параметрээр нь дифференциалчилбал: $$L(x_i,p)=\ln(P)=500 \ln(p)+\Big(-500+\sum_{i=1}^{500}x_i \Big)\ln(1-p)$$ $$ \frac{\partial L}{\partial p}=\frac{500}{p} -\frac{\Big( -500+\sum_{i=1}^{500} x_i\Big)}{1-p}=0$$ гэвэл $p=500/\sum_{i=1}^{500}x_i$ гэж олдоно. Түүврийн хувьд $\overline{X}=1.11$ тул $p=1/1.11=0.9009$ болно.
| $x_k$ | 1 | 2 | 3 | 4 | $\Sigma$ |
| $n_k$ | 451 | 44 | 4 | 1 | 500 |
| $n_k/n$ | 0.902 | 0.088 | 0.008 | 0.002 | 1.000 |
гэвэл ХИҮХБ функц дараах хэлбэртэй болно. $$P(x_i,p)=\prod_{i=1}^{500}[p(1-p)^{x_i-1}]=p^{500}(1-p)^{-500+\sum_{i=1}^{500}x_i}.$$ ХИҮХБ логарифм функцийг олж $p$ параметрээр нь дифференциалчилбал: $$L(x_i,p)=\ln(P)=500 \ln(p)+\Big(-500+\sum_{i=1}^{500}x_i \Big)\ln(1-p)$$ $$ \frac{\partial L}{\partial p}=\frac{500}{p} -\frac{\Big( -500+\sum_{i=1}^{500} x_i\Big)}{1-p}=0$$ гэвэл $p=500/\sum_{i=1}^{500}x_i$ гэж олдоно. Түүврийн хувьд $\overline{X}=1.11$ тул $p=1/1.11=0.9009$ болно.