Лекц 8.
8. Их тооны хуулиуд
- 8.1 Марков болон Чёбыщевийн тэнцэтгэл биш,
- 8.2 Чёбыщевийн теорем,
- 8.3 Бернуллийн теорем,
- 8.4 Пуассоний теорем,
- 8.5 Хязгаарын гол теорем. (Ляпуновийн теорем)
- 8.6 Жишээ бодлогууд.
8.1 Марковын тэнцэтгэл биш
$X$- эерэг, төгсгөлөг математик дундажтай $\exists MX;+\infty$ с.х бол $\forall \alpha;0$ хувьд,
$$P(X\geq \alpha)\leq \frac{MX}{\alpha}\qquad (8.1)$$
Баталгаа:
$$MX=\int_0^{\infty} u \cdot f(u)du=\int_0^{\alpha} u \cdot f(u)du+\int_{\alpha}^{+\infty} u \cdot f(u)du$$
баруун талын илэрхийллийг багасгавал,
$$ MX\geq \alpha \int_{\alpha}^{+\infty} f(u)du $$
илэрхийллээс Марковын тэнцэтгэл биш мөрдөн гарна.
$$ \frac{MX}{\alpha}\geq \int_{\alpha}^{+\infty} f(u)du=P(X\geq \alpha).$$
Эквивалент хэлбэрээр хувиргаж бичвэл,
$$P(X<\alpha) \geq 1-\frac{MX}{\alpha}\qquad (8.1')$$
Баталгаа:
$$MX=\int_0^{\infty} u \cdot f(u)du=\int_0^{\alpha} u \cdot f(u)du+\int_{\alpha}^{+\infty} u \cdot f(u)du$$
баруун талын илэрхийллийг багасгавал,
$$ MX\geq \alpha \int_{\alpha}^{+\infty} f(u)du $$
илэрхийллээс Марковын тэнцэтгэл биш мөрдөн гарна.
$$ \frac{MX}{\alpha}\geq \int_{\alpha}^{+\infty} f(u)du=P(X\geq \alpha).$$
Эквивалент хэлбэрээр хувиргаж бичвэл,
$$P(X<\alpha) \geq 1-\frac{MX}{\alpha}\qquad (8.1')$$
Чёбыщевийн тэнцэтгэл биш
$X$- с.х-ний хувьд $\exists MX, \, \exists DX$ ба $\forall \varepsilon >0$ бол,
$$P(|X-MX|<\varepsilon)\geq 1-\frac{DX}{\varepsilon^2}\qquad (8.2)$$
Баталгаа:
$Y=(MX-X)^2$ гэвэл $\forall \varepsilon^2>0$ хувьд Марковийн тэнцэтгэл биш (8.1') нь,
$$ P(Y<\varepsilon^2)\geq 1- \frac{MY}{\varepsilon^2}$$ болж илэрхийллийг бага зэрэг хялбарчлавал,
$$P(|X-MX|<\varepsilon)\geq 1- \frac{DX}{\varepsilon^2}$$ болж (8.2) батлагдав. Энд $MY=DX$ байв.
Эквивалент хэлбэрт оруулан бичвэл,
$$P(|X-MX|\geq \varepsilon)\leq \frac{DX}{\varepsilon^2} \qquad (8.3)$$
$X$- с.х-ний хувьд $\exists MX, \, \exists DX$ ба $\forall \varepsilon >0$ бол,
$$P(|X-MX|<\varepsilon)\geq 1-\frac{DX}{\varepsilon^2}\qquad (8.2)$$
Баталгаа:
$Y=(MX-X)^2$ гэвэл $\forall \varepsilon^2>0$ хувьд Марковийн тэнцэтгэл биш (8.1') нь,
$$ P(Y<\varepsilon^2)\geq 1- \frac{MY}{\varepsilon^2}$$ болж илэрхийллийг бага зэрэг хялбарчлавал,
$$P(|X-MX|<\varepsilon)\geq 1- \frac{DX}{\varepsilon^2}$$ болж (8.2) батлагдав. Энд $MY=DX$ байв.
Эквивалент хэлбэрт оруулан бичвэл,
$$P(|X-MX|\geq \varepsilon)\leq \frac{DX}{\varepsilon^2} \qquad (8.3)$$
болно. Тухайн тохиолдолд бином тархалттай с.х дээр дээрх (8.2) тэнцэтгэл бишийг хэрэглэж үзье. Тэгвэл $MX=np$, $DX=npq$ байх тул,
$$P(|X-np|<\varepsilon)\geq 1-\frac{npq}{\varepsilon^2}\qquad (8.4) $$
Харин үл хамаарах туршилт бүрт нэгэн ижил $M(m/n)=p$ магадлалтай илрэх, дисперс нь $D(m/n)=pq/n$ байх үзэгдлийн харьцангуй давтамж $m/n$ -ийн хувьд бичвэл,
$$P\Big(\Big|\frac mn-p\Big|<\varepsilon\Big)\geq 1-\frac{pq}{n\cdot \varepsilon^2}\qquad (8.5)$$
болно.
Жишээ 1.
Мал аж ахуйн фермийн нэг өдөр зарцуулах усны дундаж хэмжээ 1000л, дундаж квадрат хазайлт нь 200л ээс үл хэтэрнэ. Таамгаар соонгон авсан нэг өдөр тухайн фермийн усны зарцуулалт 2000л -ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг (a) Марковын тэнцэтгэл бишээр (b) Чёбыщевийн тэнцэтгэл бишээр тус тус үнэл.
Бодолт.
(а). $X$- мал аж ахуйн ферм нэг өдөрт зарцуулах усны хэмжээ. (л)
$MX=1000, \, \alpha=2000 $ тул (8.1) тэнцэтгэл бишээр,
$$P\Big( X \leq 2000) \geq 1- \frac{1000}{2000}=0.5 \hbox{ буюу } P(X\leq 2000) \geq 0.5$$
(b) $DX=\sigma^2\leq 200^2$ ба
$$\{0 \leq X \leq 2000\}=\{|X-1000|\leq 1000\}$$
тул Чёбыщевийн тэнцэтгэл бишээр,
$$P\Big(\Big| X-1000\Big|\leq 1000 \Big) \geq 1- \frac{200^2}{1000^2}=0.96 \hbox{ буюу } P(X\leq 2000) \geq 0.96$$ гэж гарч байна.
8.2 Чёбыщевийн теорем.Жишээ 1.
Мал аж ахуйн фермийн нэг өдөр зарцуулах усны дундаж хэмжээ 1000л, дундаж квадрат хазайлт нь 200л ээс үл хэтэрнэ. Таамгаар соонгон авсан нэг өдөр тухайн фермийн усны зарцуулалт 2000л -ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг (a) Марковын тэнцэтгэл бишээр (b) Чёбыщевийн тэнцэтгэл бишээр тус тус үнэл.
Бодолт.
(а). $X$- мал аж ахуйн ферм нэг өдөрт зарцуулах усны хэмжээ. (л)
$MX=1000, \, \alpha=2000 $ тул (8.1) тэнцэтгэл бишээр,
$$P\Big( X \leq 2000) \geq 1- \frac{1000}{2000}=0.5 \hbox{ буюу } P(X\leq 2000) \geq 0.5$$
(b) $DX=\sigma^2\leq 200^2$ ба
$$\{0 \leq X \leq 2000\}=\{|X-1000|\leq 1000\}$$
тул Чёбыщевийн тэнцэтгэл бишээр,
$$P\Big(\Big| X-1000\Big|\leq 1000 \Big) \geq 1- \frac{200^2}{1000^2}=0.96 \hbox{ буюу } P(X\leq 2000) \geq 0.96$$ гэж гарч байна.
Хэрэв $X_1, \ldots, X_n, \ldots$ гэсэн хос хосоороо үл хамаарах с.х ний дисперсүүд нь жигд зааглагдсан ($DX_j 0 $ хувьд
\[ \lim_{n \to \infty} P\Big( \Big|\frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_i-\frac 1n \sum_{i=1}^{n} MX_i\Big|<\varepsilon \Big) =1 \qquad (8.6)\]
Энэхүү теоремыг Чёбыщевийн их тооны хууль гэх ба практикт дараах тэнцэтгэл биш хэлбэрээр ашиглана.
\[ P\Big( \Big|\frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_i-\frac 1n \sum_{i=1}^{n} MX_i\Big| < \varepsilon \Big) \geq 1-\frac{C}{n\varepsilon^2} \qquad (8.7)\]
Мөрдлөгөө 8.1:
Хэрэв $X_1,\ldots,X_n$ - с.х-үүд
\[ \lim_{n \to \infty} P\Big( \Big|\frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_i-\frac 1n \sum_{i=1}^{n} MX_i\Big|<\varepsilon \Big) =1 \qquad (8.6)\]
Энэхүү теоремыг Чёбыщевийн их тооны хууль гэх ба практикт дараах тэнцэтгэл биш хэлбэрээр ашиглана.
\[ P\Big( \Big|\frac 1n \sum_{i=1}^{n} X_i-\frac 1n \sum_{i=1}^{n} MX_i\Big| < \varepsilon \Big) \geq 1-\frac{C}{n\varepsilon^2} \qquad (8.7)\]
Мөрдлөгөө 8.1:
Хэрэв $X_1,\ldots,X_n$ - с.х-үүд
- хос хосоороо хамааралгүй
- $MX_1=\ldots=MX_n=a$
- Дисперсүүд нь жигд зааглагдсан бол
8.3 Бернуллийн теорем,
Хэрэв үл хамаарах туршилтын дүнд А үзэгдэл нэг ижил р магадлалтай бол А үзэгдлийн харьцангуй давтамж ба магадлалын ялгавар, абсолют хэмжигдэхүүнээрээ дурын эерэг тооноос бага байх магадлал туршилтын тоо хүрэлцээтэй өсөхөд 1-д хичнээн ч ойрхон байж болно. Ө.х
\[ \lim_{n \to \infty} P\Big(\Big|\frac mn -p\Big|\leq \varepsilon\Big)=1 \qquad (8.8)\]
Дээрх (8.8) томъёоны практикт ашиглагдах хэлбэр нь (8.5) тэнцэтгэл биш юм.
$$P\Big(\Big|\frac mn-p\Big|<\varepsilon\Big)\geq 1-\frac{pq}{n \cdot \varepsilon^2}\qquad (8.5)$$
$$P\Big(\Big|\frac mn-p\Big|<\varepsilon\Big)\geq 1-\frac{pq}{n \cdot \varepsilon^2}\qquad (8.5)$$
Жишээ 2.
Шинээр төрөгсөдийн дунджаар 87% нь 65 хүртэл насалдаг болохыг олон жилийн статистик өгөгдлөөр тогтоожээ. Тэгвэл шинээр төрсөн 1000 хүний доторхи 65 хүртэл наслагчдын хувь, магадлалаасаа 0.04-өөс ихгүйгээр ялгагдах магадлалыг Чёбыщевийн тэнцэтгэл бишээр үнэл.
Бодолт.
$n=100, \, p=0.87,\, q=0.13 \, , \varepsilon = 0.04$ үед (8.5) тэнцэтгэл бишээр,
$$P\Big( \Big|\frac mn-p\Big|<\varepsilon\Big)\geq 1-\frac{pq}{n\cdot \varepsilon^2}=1-\frac{0.87\cdot 0.13}{1000\cdot 0.0016}=0.9293.$$
8.4 Пуассоний теорем,
Үл хамаарах туршилтын дүнд $i$-р туршилтанд А үзэгдэл явагдах магадлал $p_i$ бол\[ \lim_{n \to \infty} P\Big( \Big| \frac mn-\frac{p_1+p_2+...+p_n}{n}\Big|\leq \varepsilon \Big)=1 \qquad (8.9)\]
8.5 Хязгаарын гол теорем.(Ляпуновийн теорем)
Дээр авч үзсэн их тооны хуулийн теоремууд нь хүрэлцээтэй олон с.х ний арифметик дунджийн тогтворжилтыг илэрхийлдэг бол хязгаарын гол теоремд нормчлогдсон $n$ с.х ний нийлбэр $n \to \infty$ үед хэвийн тархалттай байхыг авч үздэг.
Ляпуновийн теорем.
Хэрэв $X_1, \ldots, X_n$ гэсэн үл хамаарах с.х ний дарааллын хувьд,
- $MX_i=a_i, \quad DX_i=\sigma_i, \quad i=\overline{1,n}$ - бүгд төгсгөлөг,
- Аль ч с.х бусад с.х-ний утгуудаас эрс ялгаатай биш бол
- $n \to \infty$ үед $Y=X_1+ X_2+\ldots+X_n$ нийлбэр с.х-ний хувьд,
буюу нийлбэр с.х $\sum_{i=1}^{n}a_i$ математик дундаж, $\sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2$ дисперс бүхий хэвийн тархалттай байна. Харин нормчлогдсон с.х $Z$ нь стандарт хэвийн тархалттай байна.
$$Z=\frac{Y-MY}{\sigma_Y} \rightarrow N(0;1) $$ буюу
$$Z=\frac{Y-\sum_{i=1}^{n}a_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2}} \rightarrow N(0;1) \qquad (8.11') $$
Хэрэв тухайн тохиолдолд $X_1, ..., X_n$ нь $\forall i, \, MX_i=a$, $DX_i=\sigma^2$ байх үл хамаарах с.х дараалал бол $\forall x$ ба $n \to \infty $ үед,
\[ P\Big( \frac{Y -n\cdot a}{\sigma \sqrt n}< x\Big) \approx \Phi(x) \qquad (8.12)\]
байна.
Жишээ 3.
Дараах $X_1, X_2, ..., X_k$ - с.х-үүд хоорондоо үл хамаарах бөгөөд $n=9$, $p=0.5$ параметр бүхий бином тархалтын хуулинд захирагдана. Тэгвэл $S_m=X_1+... + X_m$ бол $P(S_{100}+S_{200}<1400)$ магадлалыг ол.
Бодолт. $a=MX_i=np=4.5$, $\sigma^2=DX_i=npq=2.25$, $\forall i \in \overline{1,k}$ болох ба Ляпуновийн теорем ёсоор $$S_{100} \rightarrow N(100a,100\sigma^2)=N(450, 225)$$ $$ S_2=\sum_{i=101}^{200} X_i \rightarrow N(100a,100\sigma^2)=N(100, 225)$$ тархалттай с.х-үүд болно. Эдгээр с.х-үүд үл хамаарах бөгөөд хэвийн тархалттай с.х-ний шугаман эвлүүлэг мөн хэвийн тархалттай байх тухай дараах леммаар,
Лемма:
Хэрэв $X \rightarrow N(a_1,\sigma_1^2)$ ба $Y \rightarrow N(a_2,\sigma_2^2)$ гэсэн үл хамаарах с.х -үүд бол $\forall c_1,c_2 \in R$ тогтмолын хувьд , $$c_1X + c_2Y \rightarrow N(c_1a_1 + c_2a_2, c_1^2\sigma_1^2+c_2^2\sigma_2^2)$$ хэвийн тархалттай байна.
$$ S=S_{100}+S_{200}=2S_{100}+S_2 \rightarrow N(1350, 1225)$$
болох ба эндээс (8.12) томъёогоор,
$$P(S<1400) = P\Big(\frac{S-1350}{\sqrt{1225}} < \frac{1400-1350}{\sqrt{1225}} \Big)=\Phi(1.42)=0.4222$$ болно.